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可导函数的极值点一定是驻点吗

发布时间：2025-10-11 | 来源：互联网转载和整理

在数学中，函数的极值点和驻点是两个不同的概念。极值点指的是函数在某一点处取得最大值或最小值，而驻点则是指函数在该点处的导数为零。因此，可导函数的极值点不一定是驻点。

首先，我们来看一个简单的例子。考虑函数$f(x)=x^3$，它的导数为$f'(x)=3x^2$。我们可以求出$f'(x)=0$时的解为$x=0$，因此$x=0$是$f(x)$的一个驻点。然而，我们可以发现$f(x)$在$x=0$处取得了最小值，即$f(0)=0$。因此，$x=0$是$f(x)$的一个极值点，但不是$f(x)$的较早极值点。

另一个例子是函数$f(x)=\sqrt[3]{x}$，它在$x=0$处取得了最小值，即$f(0)=0$。但是，$f'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}$，在$x=0$处导数不存在，因此$x=0$不是$f(x)$的驻点。

这些例子说明了可导函数的极值点不一定是驻点。但是，如果函数在某一点处取得极值，那么该点必须是函数的驻点或者函数的导数不存在。这是因为如果函数在某一点处取得极值，那么该点必须是函数的局部极值点，而局部极值点必须满足导数为零或导数不存在的条件。

因此，我们可以得出结论：可导函数的极值点必须是驻点或导数不存在的点，但不一定是驻点。