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线面垂直的性质定理及其证明

发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）定理1证明很容易由线面垂直的定义得到，若不垂直于所有直线，则不可能垂直平面。定理2证明已知平面α和一点P，求证过P垂直于α的直线有且只有一条。当P在平面外时，假设过P有两条直线m、n都与α垂直，不妨设垂足为M、N。由于m∩n=P，那么m和n确定一个平面β。不难证明α∩β=MN。∵m⊥α，n⊥α∴m⊥MN，n⊥MN。这样一来在β内就有PM、PN与MN都垂直，与平面内的垂线公理（其实是定理，因为可以依靠欧式几何的公理证明）矛盾。类似地可证明当P在平面上时也能推出矛盾。所以定理2成立。定理3证明已知m∥n，m⊥α，求证n⊥α。线面垂直证明：设m∩α=M，n∩α=N。再在m、n上分别另取P、Q。∵m∥n∴设m与n确定平面β，且α∩β=MN过N在α内作AB⊥MN，连接PN。∵PM⊥α，AB⊂α∴PM⊥AB∵PM⊂β，MN⊂β∴AB⊥β∵QN⊂β∴QN⊥AB~~~①又∵PM⊥α，MN⊂α∴PM⊥MN∵PM∥QN∴QN⊥MN~~~②∵MN∩AB=N，MN⊂α，AB⊂α∴QN⊥α定理4证明已知m⊥α，n⊥α，求证m∥n证明：假设m和n不平行，那么它们相交或异面。当它们相交的时候，设m∩n=P，则m、n确定一个平面设m⊥α于M，n⊥α于N，连接MN。则MN在m、n所确定的平面上易证PM⊥α，MN⊂α∴PM⊥MN同理可证PN⊥MN∵PMN共面，即在该平面内有两条直线PM、PN与MN都垂直，这与平面内的垂直定理矛盾∴mn不相交当它们异面的时候，过N作n‘∥m∵m⊥α，由定理3可知n’⊥α又∵n⊥α，n∩n‘=N即过N有n和n’都与α垂直，这与定理2矛盾∴mn不异面∴m∥n推论证明已知空间内有三条直线a、b、c，且三条直线不同在一个平面内。若a∥b，b∥c，求证a∥c。几何法证明：在a上任意取一点A，由于两条平行直线确定一个平面，所以在a和b所确定的平面内，过A作b的垂线AB，垂足为B。同理在b和c所确定的平面内，过B作c的垂线BC，垂足为C。连接AC。∵b∥c，BC⊥c∴BC⊥b∵AB⊥b∴b⊥平面ABC（判定定理）∵a∥b∴a⊥平面ABC（性质定理3）∵c∥b∴c⊥平面ABC（性质定理3）∴a∥c（性质定理4）向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，c的方向向量为c，其中a、b、c都是非零向量。∵a∥b∴a∥b由共线向量基本定理可知存在一个唯一实数λ（λ≠0）使得a=λb同理，存在一个唯一实数μ（μ≠0）使得b=μc∴a=λ*(μc)=(λ*μ)c∴a∥c∴a∥c反证法证明：假设a和c不平行，要么它们相交，要么它们异面。若a和c相交于P，则它们确定一个平面α。又设a和b确定的平面为β。明显α∩β=a∵a∩c=P∴c不在β上。这是因为由于两个相交平面只有一条交线，这条交线就是a。而c⊂α，如果c⊂β，说明c和a重合，这与它们相交矛盾。∵a∥b，P∈a∴P∉b由异面直线的判定定理（经过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线互为异面直线）可知b和c互为异面直线（只要取c上其他一点Q即可，Q必定不在β上，否则P、Q都在β上那么c就在β上，与前文所述矛盾）。但这与条件中b∥c矛盾，所以一开始的假设不成立，a和c不相交。若a和c异面，则根据异面直线所成角的定义，平行于异面直线其中一条的直线与异面直线的另一条所成角等于原来的异面直线所成角∵a∥b∴a与c所成角等于b与c所成角但b∥c，即b与c所成角为0°∴a与c所成角为0°，这和异面直线所成角的范围(0°,90°]相矛盾∴a和c不异面∴a∥c