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已知两圆方程求公共弦

发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理

联立两个圆方程（两式相减），这就是公共弦的方程，再把这条直线代入其中任何一个圆方程中算出弦长，l=√(1+k²)│x1-x2│。

公共弦方程：两个圆若是相交，则至多交于2点。而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。而减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），就是两个交点所共同满足的直线方程。而我们知道平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。相交两圆的公共弦所在的直线方程若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式设两圆分别为x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②两式相减得（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③这是一条直线的方程（1）先证这条直线过两圆交点设交点为(x0,y0)则满足①②所以满足③所以交点在直线③上（2）由于过两交点的直线又且只有一条所以得证