等比数列的求和公式
发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理
等比数列是指一个数列中每一项与其前一项的比相等的数列。比如，1，2，4，8，16，32 就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比都是2。
求等比数列的和是一个重要的数学问题。如果我们知道一个等比数列的首项 a1、公比 r 和项数 n，那么我们可以使用下面的公式来求和：
S = a1(1 - r^n) / (1 - r)
其中，S 是等比数列的和。
这个公式的推导可以通过以下步骤来完成：
1. 假设等比数列的首项是 a1，公比是 r，最后一项是 an。
2. 根据等比数列的定义，我们可以得到：
a2 = a1 * r
a3 = a2 * r = a1 * r^2
a4 = a3 * r = a1 * r^3
...
an = a1 * r^(n-1)
3. 将上面的等式相加，得到：
a2 + a3 + a4 + ... + an = a1 * (r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1))
4. 我们可以将等式右边的括号中的内容提取出来，得到：
a2 + a3 + a4 + ... + an = a1 * r * (1 + r + r^2 + ... + r^(n-2))
5. 然后，我们可以将等式右边的括号中的内容再次提取出来，得到：
a2 + a3 + a4 + ... + an = a1 * r * [(1 - r^(n-1)) / (1 - r)]
6. 最后，我们可以将等式左边的项用 S 表示，得到：
S = a1 + a2 + a3 + ... + an = a1 * [(1 - r^n) / (1 - r)]
这就是等比数列求和公式。
需要注意的是，当公比 r 的绝对值小于1时，等比数列的和会趋近于一个有限的值。当公比 r 的绝对值大于等于1时，等比数列的和会趋向于正无穷或负无穷。因此，在使用等比数列求和公式时，需要注意公比的取值范围。