P级数的敛散性证明，当p大于1时的，谢谢。
发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理
证明：
当p>1时，p-级数前2^k向的部分和
S(p)=1+1/2^p+1/3^p+……+1/[(2^k)^p]=1+[1/2^p+1/3^p]+[1/4^p+1/5^p+1/6^p+1/7^p]+……+{1/[2^(k-1)]^p+1/[2^(k-1)+1]^p+……+1/(2^k-1)^p}+1/[(2^k)^p](p)有界
而对于任意n，存在k，使n≤2^k，从而S<[2^(p-1)]/[2^(p-1)-1]
所以P级数收敛
扩展资料性质：
关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x），u2（x），u3（x）......至un（x）.......则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数
对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数⑴成为常数项级数u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+....（2）这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。
函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域，发散点的全体称为他的发散域对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s。
这样在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数⑴的前n项部分和记作Sn(x)，则在收敛域上有limn→∞Sn(x)=S(x)
记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项（当然只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有limn→∞rn(x)=0。
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