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矩阵的秩和特征值之间的关系

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

关系：

1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。

2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。证明：定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。 定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。 定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。 定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。 定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。 例1：设矩阵A=12 3 424 6 836 912481216 ，求矩阵A的特征值，矩阵A的秩。 解：得到A→12 3 400 0 000 0 000 0 0 ，则矩阵A的秩r（A）=1。 通过上例，我们发现λ=0为A的三重特征值，而A的秩r（A）=4-3=1。下面的定理给出了相应的结论。 证：由定理2，实对称矩阵必能相似对角化，所以A必有n个线性无关的特征向量，即每一个特征值对应一个线性无关的特征向量，重根对应线性无关的特征向量的个数等于其重数，故由秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0对应的特征向量恰有n-k个，即λ=0恰为A的n-k重特征值。 以上例题和相关定理均给出了矩阵的秩得到矩阵的特征值的情况，反过来，若n阶方阵A恰有k（0<k<n）个特征值为0，则矩阵A的秩大于等于n-k。所以方阵A不满秩等价于A有零特征值，A的秩不小于A的非零特征值的个数。