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均值不等式定理

发布时间：2025-10-08 | 来源：互联网转载和整理

均值不等式（Mean Inequality）定理是数学中的基本定理之一，在不等式理论和应用中具有重要的作用。均值不等式可以用于证明其他更复杂的不等式，也可以用于求解优化问题。均值不等式定理主要包括以下几种形式：

1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM inequality）：对于非负实数a1, a2, ..., an，有 （a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1)2. 几何平均-调和平均不等式（GM-HM inequality）：对于非负实数a1, a2, ..., an，有 (a1 * a2 * ... * an)^(1) ≥ n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)3. 平方平均-算术平均不等式（QM-AM inequality）：对于非负实数a1, a2, ..., an，有 (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) / n ≥ (a1 + a2 + ... + an) / n4. 算术平均-调和平均不等式（AM-HM inequality）：对于正实数a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an) / n ≥ n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)这些不等式的基本思想是通过对数化和使用柯西-施瓦茨不等式等方法，将原问题转化为更简单的形式，从而得到结论。均值不等式在数学、物理、经济等各个领域都有广泛的应用。