调和级数敛散性怎样

先看调和级数：

证明如下:

由于ln(1+1)<1 （n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

根据比较审敛法：小的发散，大的肯定发散。

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。