等差数列的性质

发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理

等差数列的基本性质：

1，公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

2，公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。

3，若{an}{bn}为等差数列，则{an±bn}与{kan＋bn}(k、b为非零常数)也是等差数列。

4，对任何m、n，在等差数列中有：an=am+(n－m)dm、n∈N+)，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。

5、一般地，当m+n=p+qm，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq。

6，公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差)。

7，下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）组成公差为md的等差数列。

8，在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项。

9，当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数。

等差数列前n项和公式S的基本性质：

1，数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。

2，在等差数列中，当项数为2n(nN)时，S－S=nd，=；当项数为(2n－1)(n)时，S－S=a。

3，若数列为等差数列，则S，S－S，S－S仍然成等差数列，公差为等差数列。

4，若两个等差数列的前n项和分别是S、T(n为奇数)。

5，在等差数列中，S=a，S=b(n＞m)，则S=(a－b)。

6，等差数列中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+(a－)上。

7，记等差数列的前n项和为S．①若a＞0，公差d＜0，则当a≥0且a≤0时，S最大；②若a＜0，公差d＞0，则当a≤0且a≥0时，S最小。