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曲率半径的公式是怎么推导的

发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理

曲率半径是描述曲线弯曲程度大小的物理量，其定义为曲线上某一点处切线的延长线与曲线在该点处的交点到该点的距离。

通常用小写字母r表示。对于平面曲线上的点P(x,y)，假设该曲线可以表示为y=f(x)，则曲线在该点处的切线斜率即为：k = f'(x)曲线在该点处的切线方程为：y - y0 = k(x - x0)其中(x0, y0)表示该点的坐标。将y=f(x)代入上式，可得：y - y0 = f'(x0)(x - x0)这是切线方程的一般形式。切线的斜率为f'(x0)，即曲线在该点处的导数。现在考虑通过这个切线求解曲率半径。在点P处向曲线取一点Q(x0 + dx, y0 + dy)，则曲线在点Q处的切线斜率为：k' = f'(x0 + dx)根据导数的定义，可将其表示为：k' = f'(x0) + f''(x0)dx所以当dx趋近于0时，k'约等于f'(x0)，即切线的斜率。此时Q点到P点距离d等于：d = sqrt(dx^2 + dy^2)根据曲率半径的定义，曲率半径r等于d与切线的夹角θ的比值的倒数。可以通过求解lim(dx→0) θ/d来得到该比值的值，从而得到：r = lim(dx→0) 1/[(sqrt(1 + f'(x)^2))^3 / |f''(x)|]这就是曲率半径的公式。注意到函数y=f(x)的二阶导数f''(x)可以表示为曲线的弯曲程度，所以曲率半径反比于曲线的弯曲程度的大小，即曲线越弯曲，曲率半径越小。