怎么判断级数是否绝对收敛
发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理
莱布尼兹判别法：若un≥un+1，对每一n∈N成立，并且当n→∞时limun=0，则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。
如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。
正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm有上界，例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2²+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，称之为交错级数。
对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有∑un收敛，但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。
如果级数的每一项依赖于变量x,x在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。
若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的***称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。
显然函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。
扩展资料：
绝对收敛
一个收敛的级数，如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。
简单的比较级数就表明，只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛;因而分解式(不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。
由此易见绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。
但是条件收敛的级数，即收敛而不绝对收敛的级数，决不可以这样。这时式右边成为两个发散(到+∞)的、其项趋于零的、正项级数之差，对此有黎曼定理。
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