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范德蒙德行列式计算例子

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

假设有矩阵 A：

$$

A =

begin{bmatrix}

1 2 3

4 5 6

7 8 9

end{bmatrix}

$$

我们可以使用范德蒙德行列式来计算其行列式：

$$

begin{vmatrix}

1 2 3

4 5 6

7 8 9

end{vmatrix}

= prod_{1 leq i<j leq 3} (lambda_j - lambda_i)

$$

其中 $lambda_1, lambda_2, lambda_3$ 是 A 矩阵的特征值。计算特征值：

$$

begin{vmatrix}

1 - lambda 2 3

4 5 - lambda 6

7 8 9 - lambda

end{vmatrix}

= (1 - lambda) begin{vmatrix}

5 - lambda 6

8 9 - lambda

end{vmatrix}

- 2 begin{vmatrix}

4 6

7 9 - lambda

end{vmatrix}

+ 3 begin{vmatrix}

4 5 - lambda

7 8

end{vmatrix}

= - lambda^3 + 15 lambda^2 - 18 lambda

$$

解方程 $- lambda^3 + 15 lambda^2 - 18 lambda = $ 可得特征值 $lambda_1 = , lambda_2 = frac{9 + sqrt{21}}{2}, lambda_3 = frac{9 - sqrt{21}}{2}$。所以我们可以用这些特征值计算行列式：

$$

begin{vmatrix}

1 2 3

4 5 6

7 8 9

end{vmatrix}

= prod_{1 leq i<j leq 3} (lambda_j - lambda_i)

= (frac{9 - sqrt{21}}{2} - frac{9 + sqrt{21}}{2})

(frac{9 - sqrt{21}}{2} - )(frac{9 + sqrt{21}}{2} - )

= - 18

$$

所以矩阵 A 的行列式为 -18。我想确定您需要我继续做什么。请告诉我您需要我做什么，我会尽力满足您的需求。