高中数学数列大题

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

①f(x)=(2x+3)/3x=2/3+1/x=>a(n+1)=f(1/an)=2/3+an

=>a(n+1)-an=2/3=>an=a1+(n-1)*2/3=1+2(n-1)/3=(2n+1)/3

②Tn=a1a2+a2a3+a3a4+...+a(2n)a(2n+1)=∑ak*a(k+1)(k=1to2n)

ak*a(k+1)=[2k+1]/3*[2(k+1)+1]/3=(2k+1)(2k+3)/9=(4k^2+8k+3)/9

=>Tn=1/9*[(4*1^2+8*1+3)+(4*2^2+8*2+3)+...+(4*(2n)^2+8*(2n)+3)]

=4/9*(1^2+2^2+3^2+...+(2n)^2)+8/9*(1+2+3+...+2n)+3/9*2n

=4/9*(2n)(2n+1)(4n+1)/6+8/9*(2n)(2n+1)/2+3/9*2n

=2n/9*[2(2n+1)(4n+1)/3+4(2n+1)+3]

③bn=1/[a(n-1)-an]=1/[-2/3]=-3/2???

Sn=b1+b2+...+bn=3-3/2-3/2-...-3/2=3-3/2*(n-1)

Sn=3-3/2*(n-1)<(m-2003)/2恒成立

则3-3/2*(n-1)≤3-3/2*(2-1)=3/2<(m-2003)/2（n≥2）

=>3m>2006

∴m的最小正整数值为2007（如果bn的表达式没有问题的话）