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异面直线所成角的求法

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

一、如何求异面直线所成的角（1）直接平移法： 通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。

（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

二、求二面角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：

①定义法；

②垂面法；

③三垂线定理法；

④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．三、几何法和向量法求所成角几何法1.平移法。将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。

2.三余弦定理法。运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。

3.***锥法。***锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：运用该公式也可以求异面直线所成角。向量法1.向量几何法。运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ2.向量代数法。当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。

四、异面直线所成角：，（其中 为异面直线a，b所成角， 分别表示异面直线a，b的方向向量）。异面直线所成角的范围是θ∈（0°,90°]五、直线AB与平面所成角：（ 为平面α的法向量）；二面角 的平面角：或 （ ， 为平面α，β的法向量）。

六、用向量求异面直线所成角注意：

①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．七、求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：

①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：

一是直接求 其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求 进而转化求解，其中n为平面α的法向量。

八、用向量求二面角注意：

①当法向量 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量 的夹角 的大小；

②当法向量 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量 的夹角的补角 的大小．