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第二次数学危机的详情

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

第二次数学危机

大家知道在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。

到了17世纪的后期，出现了一次崭新的数学分支——数学分析，或称微积分。它在数学领域中占据着主导地位，这种新数学的特点是，非常成功地运用了无限过程的运算，即极限运算，而其中的微分和积分这两个过程则构成了微分学和积分学的核心，并奠定了全部分析学的基础。

微积分诞生之后，数学迎来了一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。它们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。人们用微分学的理论发现了哈蕾彗星，用积分学的理论可以计算任意平面图形的面积，只要知道包围这个图形的曲线方程。在数学本身它们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。

尽管当时的数学家们知道他们的微积分的概念是不清楚的，证明也是不充分的，但是由于许多结果为经验和观测所证实，使得他们自信他们在缺乏逻辑指出的基础上得出的的微积分的结论是正确的。

于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论。微积分薄弱的基础遭到了许多数学家和非数学家们的争论和批评。即使是两位微积分的创立者牛顿和莱布尼兹本人也对此学科的基本概念也不满意。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。

当时著名的唯心主义哲学家贝克莱主教（BishopGeorgeBerkeley，1685～1753）对牛顿的导数定义进行了批判。现在我们知道导数的定义是这样的：函数对的导数定义为极限

而当时牛顿的导数定义（他当时称为流数）是这样的：

当增长为时幂成为或,与的增量分别为和，这两个增量与的增量的比分别为1与，然后让增量消失，则它们的最后比将为1与，从而对的变化率为。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？这就是著名的《贝克莱悖论》。

不仅当时导数的定义中出现了悖论，在无穷级数的理论中也出现了许多悖论。如级数

那么如果我们把级数以一种方法分组，我们有

如果按另一种方法分组，我们有

L.G.格兰迪（Grandi，1671－1742）说，因为0和1是等可能的，所以级数的和应为平均数1/2。

这样的悖论日益增多，数学家们在研究无穷级数的时候，作出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。

因此在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础之上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。事实上可以说微积分在基础方面的状况比17世纪更差。数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础，因为它们是权威，所以它们的错误就被其它的数学家不加批评地接受了，甚至作了进一步的发展。

进入19世纪，数学陷入了更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料，但是大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。历史要求给微积分以严格的基础。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。拉格朗日为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。但是这样一来，考虑的函数的范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学分析中。1816年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。

分析学的奠基人，公认是法国的多产的数学家柯西，柯西在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。接着魏尔斯特拉斯引进了精确的“”的极限定义。这样微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。今天我们微积分课本中使用的定义，基本上就是柯西的，不过现在写得更加严格一点。