施密特正交化怎么算
发布时间：2025-10-11 | 来源：互联网转载和整理
施密特正交化是一种将线性无关的向量***转化为正交向量***的方法。
以下是施密特正交化的步骤：
假设有一个线性无关的向量*** {v₁, v₂, …, vn}。
1.初始化一个正交向量*** {u₁}，它的第一个向量 u₁ 就是 v₁。可以直接将 v₁ 归一化得到 u₁。
u₁ = v₁ / ||v₁||（||v₁|| 表示向量 v₁ 的模）
2.对于剩下的向量 v₂, v₃, …, vn 进行如下操作：
a. 对于第 i 个向量 vi，计算它与前面所有的正交向量 ui 的投影。
projᵢⱼ = (vi · ui) * ui （projᵢⱼ 表示向量 vi 在 ui 上的投影）
（· 表示两个向量的点乘）
b. 将所有的投影 projᵢⱼ 相加，并从向量 vi 中减去这个总和，得到一个新的向量 vi。
uᵢ = vi - ∑projᵢⱼ （∑ 表示求和）
c. 将新得到的向量 uᵢ归一化，即除以它的模。
uᵢ = uᵢ / ||uᵢ||
3.重复步骤 2，直到处理完所有的向量 vi。
最终得到的正交向量*** {u₁, u₂, …, un} 是原始向量*** {v₁, v₂, …, vn} 的正交基。
施密特正交化的核心思想是将向量的投影分解，从而得到与之前向量正交的新向量。通过迭代这个过程，可以得到具有正交性的向量***。这样的正交向量***在许多数学和科学计算中有很多应用，如线性代数、信号处理和机器学习等领域。
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