百科知识网

广义积分中值定理公式

发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理

中值定理叙述如下：

定理3 设函数f(x)与g(x)在[a，b]上可积

函数f(x)在[a，b]上单调递减且非负，则存在ξ∈［a，b]，使\\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\\int_{a}^{\\xi}g(x)dx.

函数f(x)在[a，b]上单调，则存在ξ∈［a，b]，使\\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\\int_{a}^{\\xi}g(x)dx+f(b)\\int_{\\xi}^{b}g(x)dx.

若f(x)在[a，b]上有连续导数，用分部积分公式，得 \\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=-f(x)\\int_{x}^{b}g(t)dt |_{a}^{b} +\\int_{a}^{b}f'(x) \\int_x^bg(t)dtdx\\\\ =f(a)\\int_x^bg(t)dt+\\int_{a}^{b}f'(x) \\int_x^bg(t)dtdx 此时考虑到f(a)，f'(x)≥0，记m，M分别为函数 \\int_{x}^{b} g(t)dt在[a，b]上的最小值与最大值，所以有 [f(a)+\\int_{a}^{b}f'(x) dx]m\\leq f(a) \\int_x^bg(t)dt+\\int_{a}^{b}f'(x) \\int_x^bg(t)dtdx\\\\\\leq[f(a)+\\int_{a}^{b}f'(x) dx]M 即 f(b)m\\leq f(a) \\int_x^bg(t)dt+\\int_{a}^{b}f'(x) \\int_x^bg(t)dtdx\\leq f(b)M 再由连续函数介值性知，存在ξ∈[a，b]，使等式 \\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=f(b) \\int_{\\xi}^{b} g(x)dx 成立. 若f(x)是非负不减函数，则在[a，b]上可积，并且存在连续可导且非负不减函数序列f _n (x)，有 \\int_{a}^{b}|f(x)-f_n(x)|dx\\rightarrow0,(n\\rightarrow\\infty)