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洛必达法则的使用条件0/无穷（洛必达法则使用条件）

发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理

1、关于洛必达法则适用条件。

2、解：在求取函数的极限时，洛必达法则是一个强有力的工具；但洛必达法则只适用于0/0和∞/∞两种情况。

3、·①0/0型：例：x?0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型，因为x?0时，分子(tanx-x)?0，分母x-sinx?0】=x?0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x?0lim(sec2x-1)/(1-cosx)=x?0limtan2x/(1-cosx)【还是0/0型，继续用洛必达】=x?0lim[(2tanxsec2x)/sinx]=x?0lim(2sec3x)=2②∞/∞型例：x?(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x?(π/2)时tanx?+∞，tan3x?-∞，故是∞/∞型】=x?(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x?(π/2)lim[(sec2x)/(3sec23x)]=x?(π/2)lim[(cos23x)/3cos2x]【0/0型】=x?(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x?(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】=x?(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3③0?∞型，这种情况不能直接用洛必达，要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用。

4、例：x?0+lim(xlnx)【x?0+时，lnx?-∞，故是0?∞型】=x?0+lim[(lnx)/(1/x)]【x?0+时(1/x)?+∞，故变成了∞/∞型】=x?0+lim[(1/x)/(-1/x2)]=x?0+lim(-x)=0④1^∞型，1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞?ln1)=e^(∞?0)例：x?0lim(1+mx)^(1/x)=x?0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型，可在指数上用洛必达】=x?0lime^[m/(1+mx)]=e^m⑤∞°型，∞°=e^(ln∞°)=e^(0?ln∞)例：x?∞limm[x^(1/x)]=x?∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型，可在指数上用洛必达】=x?∞lime^[(1/x)/1]=x?∞lime^(1/x)°=e°=1⑥0°型，0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0?∞)例：x?0lim(x^x)=x?0lime^(xlnx)=e⑦∞－∞型，∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]例：x?1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x?1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这就成了0/0型】=x?1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x?1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】=x?1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2。