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中间位移瞬时速度公式怎么推导

发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理

中间位移瞬时速度的公式是指一个物体在某一时刻的瞬时速度，它可以用微积分的方法来推导。

首先我们知道速度的定义是位移随时间的导数，即：

[ v(t) = frac{dx(t)}{dt} ]

其中( v(t) ) 表示时刻 ( t ) 的瞬时速度，( x(t) ) 表示物体在时刻 ( t ) 的位移。

现在我们来推导中间位移的瞬时速度公式。假设物体在时刻 ( t_1 ) 和 ( t_2 ) 之间发生位移，那么在这个时间段内的平均速度为：

[

ext{平均速度} = frac{

ext{位移}}{

ext{时间}} = frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} ]

我们希望求得物体在时刻 ( t ) 的瞬时速度，即时间间隔趋近于零的极限。我们让 ( t_1 ) 接近 ( t )，( t_2 ) 接近 ( t )，即：

[ v(t) = lim_{t_1

o t,t_2

o t} frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} ]

现在我们可以应用极限的性质来进一步推导。由于 ( x(t) ) 是一个连续函数，我们可以用导数来表示位移 ( x(t_2) - x(t_1) )。根据极限的定义，我们有：

[ v(t) = lim_{t_1

o t,t_2

o t} frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} = lim_{t_1

o t,t_2

o t} frac{frac{dx(t)}{dt} cdot (t_2 - t_1)}{t_2 - t_1} ]

现在( t_2 - t_1 ) 被约去，得到：

[ v(t) = lim_{t_1

o t,t_2

o t} frac{frac{dx(t)}{dt}}{1} = frac{dx(t)}{dt} ]

所以中间位移瞬时速度的公式为 ( v(t) = frac{dx(t)}{dt} )。

为什么有平方？这是因为位移的导数是速度，速度的导数是加速度。在上述推导中，我们将位移对时间的变化率表示为速度（即位移的导数），所以有一个一次导数的结果。如果我们继续推导，将速度对时间的变化率表示为加速度，那么就会得到加速度的二次导数。这就是为什么在运动学中经常涉及到一阶和二阶导数，从而导致了平方的出现。