锐角三角函数知识点
发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理
锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边
余弦等于邻边比斜边
正切等于对边比邻边
余切等于邻边比对边
正割等于斜边比邻边
余割等于斜边比对边
正切与余切互为倒数
它的本质是任意角的***与一个比值的***的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)：
函数名正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有
正弦函数sinθ=y/r
余弦函数cosθ=x/r
正切函数tanθ=y/x
余切函数cotθ=x/y
正割函数secθ=r/x
余割函数cscθ=r/y
(斜边为r，对边为y，邻边为x。)
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数versinθ=1-cosθ
余矢函数coversθ=1-sinθ
锐角三角函数的性质
1、锐角三角函数定义
锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数
2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函数间的关系
平方关系：sin2α+cos2α=1
倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)
商的关系：tanα=,cotα=.
(这三个关系的证明均可由定义得出)
4、三角函数值
(1)特殊角三角函数值
(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
(3)锐角三角函数值的变化情况
(i)锐角三角函数值都是正值
(ii)当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0,cotα>0.
锐角三角函数单元试测试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是
(D)
A.30米B.10米C.米D.米
2.如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为
(C)
A.B.C.D.
3.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)
在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(A)
A.250mB.mC.mD.m
4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是(C)
A.23B.32C.34D.43
(第2题)(第3题)(第4题)
5.如果∠A是锐角，且，那么∠A=(B)
A.30°B.45°C.60°D.90°
6.等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为(A)
A.B.C.D.
7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积
是(B)
A.150B.C.9D.7
8.在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是(A)
A.B.3C.D.
9.如图，两条宽度均为40m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图
中阴影部分)的路面面积是(A)
A.(m2)B.(m2)C.1600sinα(m2)D.1600cosα(m2)
10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连结CD，若tan∠BCD=，则tanA=(C)
A.1B.C.D.
(第9题)(第10题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
11.已知为锐角,sin()=0.625,则cos=___0.625。
12.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=，则梯子长AB=4米。
13.一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，
∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米
(答案可保留根号)。
14.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为，旗杆底部
点的俯角为.若旗杆底部点到建筑物的'水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，
则旗杆顶点离地面的高度为米(结果保留根号)。
(第12题)(第13题)(第14题)
三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)
15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数
据计算回答:小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗?
(可能用到的参考数值:sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51)
15.作CD⊥AC交AB于D，则∠CAB=27°,在RtACD中，
CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)
所以小敏不会有碰头危险。
16.已知:如图，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6。求BC的长(结果保留根号)。
16.解:过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴AD=BD=ABsinB=。
在RtACD中，∠ACD=60°，
∴tan60°=，即，解得CD=。
∴BC=BD+DC=+。
四、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)
17.如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅
顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的
仰角为，求宣传条幅BC的长，(小明的身高不计，结果精确到0.1米)
17.解:∵∠BFC=，∠BEC=，∠BCF=
∴∠EBF=∠EBC=，∴BE=EF=20
在Rt⊿BCE中，
答:宣传条幅BC的长是17.3米。
18.如图，甲船在港口的北偏西方向，距港口海里的处，沿AP方向以12
海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，
现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向。求乙船的航行速度。(精确到0.1
海里/时，参考数据，)
18.依题意，设乙船速度为海里/时，2小时后甲船在点B处，乙船在点C
处，作于，则海里，海里。
在中，，
。
在中，，∴，
∴，∴。
答:乙船的航行速度约为19.7海里/时。
五、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)
19.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，
顶部不易到达)，他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你
在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。
(1)所需的测量工具是:;
(2)请在下图中画出测量示意图;
(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x。
19.解:(1)皮尺、标杆。
(2)测量示意图如图所示。
(3)如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c
∵△DEF∽△BAC，∴，
∴，∴。
20.梯形ABCD是拦水坝的横断面图，(图中是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE
的比)，∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积。(结果保留三位有效
数字，参考数据:，)
20.52.0
六、(本大题满分8分)
21.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探
测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°(如图)，试确定生命
所在点C的深度.(结果精确到0.1米，参考数据:)
21.
七、(本大题满分8分)
22.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交
叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东
30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°。
(1)求B、D之间的距离;
(2)求C、D之间的距离。
22.解:(1)如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°。
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°。
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°.
∴∠DBC=30°。
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°。
∴∠DAB=∠ADB.∴BD=AB=2。
即B，D之间的距离为2km。
(2)过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°。
∴DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1。
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，
∴CD=DO-CO=(km)。
即C，D之间的距离为km。
八、(本大题满分10分)
23.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派
三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是
直线)向前跑到C点，再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D
点，再跳入海中。救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。
若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B。
(参考数据，)
23.解:在中，。
。。
在中，，
。。
1号救生员到达B点所用的时间为:(秒)，
2号救生员到达B点所用的时间为:(秒)，
3号救生员到达B点所用的时间为(秒)，
，号救生员先到达营救地点B。