求导基本运算法则

发布时间：2025-10-10 | 来源：互联网转载和整理

一、四则运算的求导法则

1、加法的求导法则：(u+v)'=u'+v'.

2、减法的求导法则：(u-v)'=u'-v'.

3、乘法的求导法则：(uv)'=u'v+uv'.

4、除法的求导法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v.

【注】这里，“u”代指的是“u(x)”,“v”代指的是“v(x)”。

二、实例讲解

求下面几个函数的导数。

【提示】(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx。

1、y=sinx+cosx

解：y'=(sinx+cosx)'=(sinx)'+(cosx)'=cosx+(-sinx)=cosx-sinx.

2、y=sinx-cosx

解：y'=(sinx-cosx)'=(sinx)'-(cosx)'=cosx-(-sinx)=cosx+sinx=sinx+cosx.

3、y=sinxcosx

解：y'=(sinxcosx)'=(sinx)'cosx+sinx(cosx)'

=cosxcosx+sinx(-sinx)=cosx-sinx=cos2x.

【注】（1）cosx表示(cosx);

(2)数学上，习惯用“cos2x”表示“cos(2x)”；

（3）余弦的2倍角公式：cos2x=cosx-sinx。

4.y=sinx/cosx

解：y'=(sinx/cosx)'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cosx

=[cosxcosx-sinx(-sinx)]/cosx=(cosx+sinx)/cosx=1/cosx.

【注】（1）cosx+sinx=1；

（2）因为正割secx=1/cosx，所以有时也把“1/cosx”写成“secx”。

三、复合函数的求导法则

形如“y=u(v(x))”的函数，可以看成是由“y=u(v)”与“v=v(x)”两个函数复合而成的函数。其中外层函数是“y=u(v)”（注：“v”是自变量），内层函数是“v=v(x)”（注：“x”是自变量）。于是函数y=u(v(x))对“x”的导数

y'=[u(v(x))]'=u'(v)v'(x)。

【注】（1）“u'(v)”表示“u”对“v”的导数，“v'(x)”表示“v”对“x”的导数；

（2）求完导数后“u'(v)”中的“v”要还原成“v(x)”。

四、实例讲解

求下面两个函数的导数。

1、y=sin(cosx)

解：“y=sin(cosx)”可看成是外层函数为“u=sinv”，内层函数为“v=cosx”的复合函数。

因为u'=(sinv)'=cosv，v'=(cosx)'=-sinx，所以y=sin(cosx)的导数

y'=u'(v)v'(x)=(sinv)'(cosx)'=cosv(-sinx)

=-sinxcosv=-sinxcos(cosx)

2、y=cos(sinx)

解：“y=cos(sinx)”可看成是外层函数为“u=cosv”，内层函数为“v=sinx”的复合函数。

因为u'=(cosv)'=-sinv，v'=(sinx)'=cosx，所以y=cos(sinx)的导数

y'=u'(v)v'(x)=(cosv)'(sinx)'=-sinv(cosx)=-cosxsinv=-cosxsin(sinx)。