高一数学必修一公式大全

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

　　一名高中生，要有最科学的学习方法，才能事半功倍。比如在数学学习当中，高一同学要能够学会检查和分析，要掌握自己学习的进度，还要愿意动脑记忆，高一的数学也是如此，我在这里整理了相关资料，希望能帮助到您。

　　一、***有关概念

　　1.***的含义

　　2.***的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性,

　　(2)元素的互异性,

　　(3)元素的无序性,

　　3.***的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示***：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)***的表示方法：列举法与描述法。

　　?注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　1)列举法：{a,b,c}

　　2)描述法：将***中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示***的方法。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn图:

　　4、***的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的***

　　(2)无限集含有无限个元素的***

　　(3)空集不含任何元素的***例：{x|x2=-5｝

　　二、***间的基本关系

　　1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一***。反之:***A不包含于***B,或***B不包含***A,记作AB或BA

　　2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两***相等”

　　即：①任何一个***是它本身的子集。A?A

　　②真子集:如果A?B,且A?B那就说***A是***B的真子集，记作AB(或BA)

　　③如果A?B,B?C,那么A?C

　　④如果A?B同时B?A那么A=B

　　3.不含任何元素的***叫做空集，记为

　　规定:空集是任何***的子集，空集是任何非空***的真子集。

　　?有n个元素的***，含有2n个子集，2n-1个真子集三、***的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的***,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于***A或属于***B的元素所组成的***，叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B)，即AB={x|xA，或xB}).设S是一个***，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的***，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，即

　　CSA=韦恩图示性质AA=A

　　AB=BA

　　ABA

　　ABB

　　AA=A

　　A=A

　　AB=BA

　　ABA

　　ABB

　　(CuA)(CuB)

　　=Cu(AB)

　　(CuA)(CuB)

　　=Cu(AB)

　　A(CuA)=U

　　A(CuA)=.

　　例题：

　　1.下列四组对象，能构成***的是()

　　A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

　　2.***{a，b，c}的真子集共有个

　　3.若***M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.

　　4.设***A=，B=，若AB，则的取值范围是

　　5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

　　6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的***M=.

　　7.已知***A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若BC≠，AC=，求m的值

　　二、函数的有关概念

　　1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于***A中的任意一个数x，在***B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从***A到***B的一个函数.记作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的***{f(x)|xA}叫做函数的值域.注意：

　　1.定义域：能使函数式有意义的实数x的***称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;

　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的***.

　　(6)指数为零底不可以等于零，

　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　?相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

　　(见课本21页相关例2)

　　2.值域:先考虑其定义域

　　(1)观察法

　　(2)配方法

　　(3)代换法

　　3.函数图象知识归纳

　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的***C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

　　(2)画法

　　A、描点法：

　　B、图象变换法常用变换方法有三种

　　1)平移变换

　　2)伸缩变换

　　3)对称变换

　　4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.

　　5.映射一般地，设A、B是两个非空的***，如果按某一个确定的对应法则f，使对于***A中的任意一个元素x，在***B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从***A到***B的一个映射。记作f：AB

　　6.分段函数

　　(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

　　(2)各部分的自变量的取值情况.

　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=f[g(x)]=F(x)(xA)称为f、g的复合函数。

　　二.函数的性质

　　1.函数的单调性(局部性质)

　　(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

　　(3).函数单调区间与单调性的判定方法

　　(A)定义法：

　　○1任取x1，x2D，且x1

　　○2作差f(x1)-f(x2);

　　○3变形(通常是因式分解和配方);

　　○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

　　○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

　　(B)图象法(从图象上看升降)

　　(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

　　8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

　　○2确定f(-x)与f(x)的关系;

　　○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.

　　(2)由f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定;

　　(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

　　9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

　　(2)求函数的解析式的主要方法有：

　　1)凑配法

　　2)待定系数法

　　3)换元法

　　4)消参法

　　10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

　　○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

　　○2利用图象求函数的最大(小)值

　　○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题：

　　1.求下列函数的定义域：⑴⑵

　　2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__

　　3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

　　4.函数，若，则=

　　6.已知函数，求函数，的解析式

　　7.已知函数满足，则=。

　　8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=

　　在R上的解析式为

　　9.求下列函数的单调区间：

　　⑴(2)

　　10.判断函数的单调性并证明你的结论.

　　11.设函数判断它的奇偶性并且求证：.

　　三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

　　倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

　　半角公式sin(A/2)=((1-cosA)/2)sin(A/2)=-((1-cosA)/2)cos(A/2)=((1+cosA)/2)cos(A/2)=-((1+cosA)/2)tan(A/2)=((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-((1+cosA)/((1-cosA))

　　积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

　　2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

　　2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

　　-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

　　和差化积sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

　　cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

　　ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB

　　-ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsin

　　***与函数概念一,***有关概念

　　1,***的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个***,其中每一个对象叫元素.

　　2,***的中元素的三个特性:

　　1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的***,***中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的***的元素.

　　(2)任何一个给定的***中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个***时,仅算一个元素.

　　(3)***中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个***是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.

　　(4)***元素的三个特性使***本身具有了确定性和整体性.

　　3,***的表示:{}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　1.用拉丁字母表示***:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

　　2.***的表示方法:列举法与描述法.

　　注意啊:常用数集及其记法:

　　非负整数集(即自然数集)记作:n

　　正整数集n*或n+整数集z有理数集q实数集r

　　关于属于的概念***的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是***a的元素,就说a属于***a记作aa,相反,a不属于***a记作a(a

　　列举法:把***中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.

　　描述法:将***中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示***的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个***的方法.

　　①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

　　②数学式子描述法:例:不等式x-3]2的解集是{x(r|x-3]2}或{x|x-3]2}

　　4,***的分类:

　　1.有限集含有有限个元素的***

　　2.无限集含有无限个元素的***

　　3.空集不含任何元素的***例:{x|x2=-5}

　　二,***间的基本关系

　　1.包含关系子集注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一***.

　　反之:***a不包含于***b,或***b不包含***a,记作ab或ba

　　2.相等关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

　　实例:设a={x|x2-1=0}b={-1,1}元素相同

　　结论:对于两个***a与b,如果***a的任何一个元素都是***b的元素,同时***b的任何一个元素都是***a的元素,我们就说***a等于***b,即:a=b

　　①任何一个***是它本身的子集.a(a

　　②真子集:如果a(b,且a(b那就说***a是***b的真子集,记作ab(或ba)

　　③如果a(b,b(c,那么a(c

　　④如果a(b同时b(a那么a=b

　　3.不含任何元素的***叫做空集,记为

　　规定:空集是任何***的子集,空集是任何非空***的真子集.

　　三,***的运算

　　1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的***,叫做a,b的交集.

　　记作ab(读作a交b),即ab={x|xa,且xb}.

　　2,并集的定义:一般地,由所有属于***a或属于***b的元素所组成的***,叫做a,b的并集.记作:ab(读作a并b),即ab={x|xa,或xb}.

　　3,交集与并集的性质:aa=a,a=,ab=ba,aa=a,a=a,ab=ba.

　　4,全集与补集

　　(1)补集:设s是一个***,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的***,叫做s中子集a的补集(或余集)

　　记作:csa即csa={x(x(s且x(a}

　　(2)全集:如果***s含有我们所要研究的各个***的全部元素,这个***就可以看作一个全集.通常用u来表示.

　　(3)性质:⑴cu(cua)=a⑵(cua)a=⑶(cua)a=u

　　数学必修1

　　1.***　　(1)***的含义与表示①通过实例，了解***的含义，体会元素与***的“属于”关系。②能选择自然语言、图形语言、***语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受***语言的意义和作用。　　(2)***间的基本关系①理解***之间包含与相等的含义，能识别给定***的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。　　(3)***的基本运算①理解两个***的并集与交集的含义，会求两个简单***的并集与交集。②理解在给定***中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。③能使用Venn图表达***的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

　　2.函数概念与基本初等函数I

　　(约32课时)　　(1)函数①进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用***与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。③了解简单的分段函数，并能简单应用。④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解奇偶性的含义。⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参见例1)。　　(2)指数函数①(细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景。②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型(参见例2)。　　(3)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料，了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。③知道指数函数与对数函数互为反函数(a>0，a≠1)。　　(4)幂函数　　通过实例，了解幂函数的概念;结合函数的图象，了解它们的变化情况。　　(5)函数与方程①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。　　(6)函数模型及其应用①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用。三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA