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射影定理怎么证明

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

射影定理是代数几何学中的一个基本定理，它描述了射影簇（projective variety）之间的关系。

以下是射影定理的证明过程：

首先我们需要定义一些符号：

设 $X$ 是一个仿射簇（affine variety），即一个仿射空间中的代数集。设 $Y$ 是一个射影簇（projective variety），即一个射影空间中的代数集。设 $f: X

ightarrow Y$ 是一个态射（morphism），即一个连续映射，并且存在一个多项式映射 $

ilde{f}: mathbb{C}[y_0, dots, y_n]

ightarrow mathbb{C}[x_1, dots, x_m]$，使得对于任意 $P in X$，$f(P)$ 是 $Y$ 中的一个点 $[f_0(P) : dots : f_n(P)]$，其中 $f_i(P)$ 是 $

ilde{f}(y_i)$ 在点 $(x_1(P), dots, x_m(P))$ 处的值。

现在我们来证明射影定理：

（一）证明：$f(X)$ 是 $Y$ 的一个射影子簇。

为了证明 $f(X)$ 是 $Y$ 的一个射影子簇，我们需要证明它是射影空间中的一个代数集。设 $I(Y)$ 是 $Y$ 的齐次坐标环（homogeneous coordinate ring），即由所有在 $Y$ 上为零的齐次多项式生成的理想。由于 $f$ 是一个态射，我们可以将 $I(Y)$ 中的元素通过 $

ilde{f}$ 映射到 $X$ 上，即对于任意 $Q in Y$，$

ilde{f}(I(Y))$ 中的元素在 $Q$ 处的值是 $I(X)$ 中的元素在 $f^{-1}(Q)$ 处的值。所以$f(X)$ 是 $Y$ 的一个代数集，即 $f(X) = V(I(f(X)))$。

（二）证明：$I(X)$ 是 $

ilde{f}(I(Y))$ 的齐次化（homogenization）。

为了证明 $I(X)$ 是 $

ilde{f}(I(Y))$ 的齐次化，我们需要证明对于任意 $f in

ilde{f}(I(Y))$，它的齐次化 $f^h$ 都属于 $I(X)$。假设 $f in

ilde{f}(I(Y))$，则 $f$ 可以表示为 $f =

ilde{f}(g)$ 的形式，其中 $g in mathbb{C}[y_0, dots, y_n]$ 是一个齐次多项式。我们需要证明 $f^h in I(X)$，即对于任意 $P in X$，$f^h$ 在 $P$ 处为零。

设 $P in X$，则 $f(P)$ 是 $Y$ 中的一个点 $[f_0(P) : dots : f_n(P)]$，其中 $f_i(P)$ 是 $

ilde{f}(y_i)$ 在点 $(x_1(P), dots, x_m(P))$ 处的值。由于 $g$ 是一个齐次多项式，我们有 $g(f_0(P), dots, f_n(P)) = 0$。所以$f^h$ 在点 $(x_1(P), dots, x_m(P))$ 处的值为 $f^h(f_0(P), dots, f_n(P)) =

ilde{f}(g)(f_0(P), dots, f_n(P)) = 0$。由于 $P$ 是任意的，所以 $f^h in I(X)$。

综上所述射影定理得证。