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怎样判断向量组是线性相关还是线性无关

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

判断：若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

线性是从相互关联的两个角度来界定的：

（1）叠加原理成立；

（2）物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：

1、“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足。

2、对（aφ ，bψ）的*做，等于分别对φ*和ψ*做外，再加上对φ与ψ的交叉项（耦合项）的*做，或者φ、ψ是不连续（有突变或断裂）、不可微（有折点）的。

将向量按列向量构造矩阵A。对A实施初等行变换, 将A化成梯矩阵。梯矩阵的非零行数即向量组的秩。向量组线性相关 <=> 向量组的秩 < 向量组所含向量的个数。扩展资料：函数线性相关的定理：

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。先把向量组的各列向量拼成一个矩阵，并施行初等行变换变成行阶梯矩阵，即可同时看出矩阵的秩。若矩阵A秩小于向量个数m，则向量组线性相关；若矩阵A秩等于向量个数m，则向量组线性无关。这两个互为充要条件。