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全微分定义的由来

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

全微分是微积分中的一个概念，用于描述多变量函数的变化情况。

它的定义由来可以从导数的定义推导而来。考虑一个两个变量的函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是自变量。我们希望研究当自变量发生微小变化时，函数 f 的变化情况。假设在某一点 (a, b) 处，自变量 x 和 y 分别发生了微小变化 dx 和 dy。由于函数 f 是关于 x 和 y 的函数，它的值也会随着 x 和 y 的变化而变化。我们用 df 表示函数 f 的变化量。根据导数的定义，当自变量只有一个时，函数的变化率可以通过求导得到。在两个自变量的情况下，我们希望找到一种类似于导数的量来描述函数 f 的变化率。全微分定义就是基于这个目的提出的。它表示函数 f 在点 (a, b) 处的变化量 df 可以近似地表示为以下形式：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x 和 ∂f/∂y 分别是函数 f 对变量 x 和 y 的偏导数。dx 和 dy 分别表示自变量 x 和 y 的微小变化量。