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无穷级数求和推导

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

无穷级数求和是指对形如 a₁ + a₂ + a₃ + ... 的无穷级数进行求和的过程。

要判断一个无穷级数是否收敛（有确定的和），我们需要使用一些数学方法，如部分和序列、收敛性判别法等。设无穷级数的部分和序列为 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ，其中 n 表示求和的项数。如果当 n 趋向无穷大时，部分和序列 Sₙ 收敛到某个常数 S，即 lim(Sₙ) = S，则称无穷级数收敛，并且 S 称为该无穷级数的和。在推导无穷级数求和时，我们通常会使用以下几种方法：

1. 等差数列求和公式：如果无穷级数的每一项可以表示成等差数列的形式，我们可以利用等差数列求和公式来计算部分和序列 Sₙ 的和。 例如，对于等差数列 a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其前 n 项和可以表示为 Sₙ = (n/2)(2a + (n-1)d)。

2. 几何级数求和公式：如果无穷级数的每一项之间存在着一定的比例关系，我们可以应用几何级数求和公式来计算其和。 一个几何级数的一般形式为 a + ar + ar² + ...，其中 a 是首项，r 是公比。当 |r| < 1 时，几何级数收敛，其和可由公式 S = a / (1 - r) 计算得到。