线性代数中正交变换的运用
发布时间：2025-10-08 | 来源：互联网转载和整理
1.正交变换x=Py:指矩阵P是正交矩阵，即P的列(行)向量两两正交,且长度为1。
正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.
2.正交变换的作用：
①正交变换可以化二次型为标准型。在二次型中我们希望找到一个可逆矩阵C，经可逆变换x=Cy，使二次型f=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y变成标准型，也就是要使C^TAC为对角阵。
由实对称矩阵的对角化知，任给对称阵A，总有正交矩阵P，使P^（-1）AP为对角阵,因为正交矩阵P^（-1）=P^T，所以P^TAP为对角阵。
这样如果我用的是正交变换x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy（其中，Λ为对角阵）了吗。如此一来就用正交变换实现了二次型的标准化。
这是正交变换的第一个作用。
②正交变换可以研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E，所以对于正交变换x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y^TP^TPy）=√（y^Ty）=|y|.其中，|x|表示向量x的长度。
由此可见经过正交变换后，|x|=|y|，即向量长度保持不变。
同理可证=，其中，>表示两向量的内积。即两向量经同一正交变换后，两向量的内积不变，而刚刚证过，他们的长度也不变，所以两向量的交角不变。
由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后，图形的几何形状不变，可以利用正交变换研究图形的几何性质。
这是正交变换的第二个作用。
完～打字好累～哦～
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