首先，我们需要注意到这个积分中的函数是 $tan^2x$，这是一个二次函数，因此我们可以尝试使用三角函数的恒等式来化简它。
我们可以使用以下恒等式：
$$tan^2x = sec^2x - 1$$
证明：
$$tan^2x = \frac{sin^2x}{cos^2x} = \frac{1-cos^2x}{cos^2x} = \frac{1}{cos^2x}-1 = sec^2x - 1$$
因此，我们可以将原积分化简为：
$$\int \frac{1}{\sqrt{1+tan^2x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{sec^2x}} dx = \int \frac{1}{|secx|} dx$$
接下来，我们需要注意到 $secx$ 的定义域是 $\mathbb{R} - \{\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\mathbb{Z}\}$，因此我们需要分段讨论。
当 $x\in[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi)$ 时，$secx$ 是正数，因此：
$$\int \frac{1}{|secx|} dx = \int \frac{1}{secx} dx = \int cosx dx = sinx + C$$
当 $x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$ 时，$secx$ 是负数，因此：
$$\int \frac{1}{|secx|} dx = \int \frac{1}{-secx} dx = -\int cosx dx = -sinx + C$$
综上所述，原积分的结果为：
$$\int tan^2x dx = \begin{cases} sinx + C_1, & x\in[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi) \\ -sinx + C_2, & x\in(\frac{\pi}{2},\pi) \end{cases}$$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
最后，我们可以验证一下我们的结果是否正确。当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时，$tan^2x=1$，因此：
$$\int tan^2x dx = \int 1 dx = x + C = \frac{\pi}{4} + C$$
这与我们的结果是相符的。
