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正态分布推导过程标准化公式推导

发布时间：2025-10-08 | 来源：互联网转载和整理

正态分布的概率密度函数为：

$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$

其中$mu$ 是均值，$sigma$ 是标准差。

我们可以将 $f(x)$ 与它的积分联系起来，得到累积分布函数：

$$ F(x) = int_{-infty}^{x} f(x) dx $$

现在我们要将正态分布标准化，即将它转化为均值为 $0$，标准差为 $1$ 的正态分布。这相当于将原来的分布的每个值减去均值，然后除以标准差。令 $Z$ 为标准正态分布的随机变量，它的概率密度函数为：

$$ phi(z) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{z^2}{2}} $$

它的累积分布函数为：

$$ Phi(z) = int_{-infty}^{z} phi(z) dz $$

现在我们来推导正态分布标准化的公式：

令 $X$ 为均值为 $mu$，标准差为 $sigma$ 的正态分布的随机变量，即 $X sim N(mu,sigma^2)$。我们要将 $X$ 转化为标准正态分布 $Z$，即 $Z = frac{X - mu}{sigma}$。

我们可以求出 $Z$ 的概率密度函数和累积分布函数：

$$ begin{aligned} P(Z leq z) = P(frac{X - mu}{sigma} leq z) = P(X leq sigma z + mu) = F(sigma z + mu) end{aligned} $$

对 $z$ 求导，得到：

$$ begin{aligned} frac{d}{dz} P(Z leq z) = frac{d}{dz} F(sigma z + mu) = f(sigma z + mu) cdot frac{d}{dz} (sigma z + mu) = f(sigma z + mu) cdot sigma end{aligned} $$

将 $f(x)$ 带入，得到：

$$ frac{d}{dz} P(Z leq z) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(sigma z + mu - mu)^2}{2sigma^2}} cdot sigma $$

化简得到：

$$ frac{d}{dz} P(Z leq z) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{z^2}{2}} $$

这就是标准正态分布的概率密度函数 $phi(z)$。

所以我们可以得到正态分布标准化的公式：

$$ P(X leq x) = P(frac{X - mu}{sigma} leq frac{x - mu}{sigma}) = Phi(frac{x - mu}{sigma}) $$

其中$Phi(z)$ 是标准正态分布的累积分布函数。