对偶式的对偶式定理
发布时间：2025-10-08 | 来源：互联网转载和整理
对偶定理是一个数学术语，指的是若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
对偶式指的是对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y'，Y'就是Y的对偶式。显然Y和Y'互为对偶式。
在命题逻辑中的对偶式：在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┐）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，，所得到的新命题公式A*就是A的对偶式。例如命题公式A=┐(P∧0)的对偶式A*=┐(P∨1)。
定理1：A和A*是互为对偶式，P，P2，...，Pn是出现在A和A*的原子变元，则┐A(P,...,Pn)A*┐P,...┐Pn)；A(┐P,...Pn)┐A*(P,...,Pn)；即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。例子：DeMorgan定律┐(P∧Q)=┐P∨┐Q。
定理2：设A*，B*分别是A和B的对偶式，如果AB，则A*B*。这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对偶式的等值同时也立。可以起到事半功倍的效果。
扩展资料
若逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即F'=F。则称函数F为自对偶函数。例如函数是一自对偶函数。
因为：F'=(A·C+B)·(A+B·C)=(A+B)(C+B)(A+B)(A+C)=A(B+C)(A+C)+B(B+C)(A+C)=(B+C)(A+AC)+(B+B·C)(A+C)=A(B+C)+B(A+C)=F求某一逻辑表达式的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。
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