∩是交集还是并集

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

并集

交集***论中,设A,B是两个***,由所有属于***A且属于***B的元素所组成的***,叫做***A与***B的交集(intersection),记作A∩B。

若A和B是***，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而没有其他元素的***。A和B的并集通常写作"A∪B"，读作“A并B”，用符号语言表示，即：A∪B={xx∈A,或x∈B}

形式上，x是A∪B的元素，当且仅当x是A的元素，或x是B的元素。

代数性质

二元并集（两个***的并集）是一种结合运算，即A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。事实上，A∪B∪C也等于这两个***，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。相似的，并集运算满足交换律，即***的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即∅∪A=A。对任意***A，可将空集当作零个***的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集

最普遍的概念是：任意***的并集。若M是一个***的***，则x是M的并集的元素，当且仅当存在M的元素A，x是A的元素。即：

无论***M本身为何，M的并集是一个***，这就是公理***论中的并集公理。

例如：A∪B∪C是***{A,B,C}的并集。同时，若M是空集，M的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

交集的性质

关于交集有如下性质：

A∩B⊆A

A∩B⊆B

A∩A=A

A∩∅=∅

A∩B=B∩A；

并集的性质

关于并集有如下性质：

A∪B⊇A

A∪B⊇B

A∪A=A

A∪∅=A

A∪B=B∪A

若A∩B=A，则A∈B，反之也成立；

若A∪B=B，则A∈B，反之也成立。

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B；

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B。

举例

***{1,2,3}和{2,3,4}的并集是{1,2,3,4}。数字9不属于质数***{2,3,5,7,11,…}和偶数***{2,4,6,8,10,…}的并集，因为9既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个***的并集可以这样定义：例如，A,B和C的并集含有所有A的元素，所有B的元素和所有C的元素，而没有其他元素。

形式上，x是A∪B∪C的元素，当且仅当x∈A或x∈B或x∈C。