逆矩阵有什么性质
发布时间:2025-10-07 | 来源:互联网转载和整理
逆矩阵的性质:
1、可逆矩阵是方阵。
2、矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT可逆,并且(AT)-1=(A-1)T 。
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。
6、两个可逆矩阵乘积依然是可逆的。设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。逆矩阵的唯一性:若矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的。扩展资料:如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A) = rank(B) = n)。证明:
1、逆矩阵是对方阵定义的,所以逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C2、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,所以某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,所以相等。
4、矩阵A可逆,有AA-1=I 。(A-1) TAT=(AA-1)T=IT=I ,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I5、由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,所以(AT)-1=(A-1)T。
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