勾股定理16种证明方法
发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理
勾股定理16种证明方法
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。
方法
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证法一（邹元治证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C三点共线，C、G、D三点共线。∵Rt△HAE≌Rt△EBF∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共线∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2
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证法二（课本的证明）：如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。
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证法三（赵爽弦图证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2，整理得a^2+b^2=c^2
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证法四（总统证明）：如下图所示。易得△CDE为等腰直角三角形∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2
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证法五（梅文鼎证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积∴c²=a²+b²
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证法六（项明达证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。过Q点作QP⊥AC，交AC于P点分别过F、B作QP的垂线段，交点分别为M、N易得四边形ABQF为正方形利用全等三角形的判定定理角角边（AAS）可得△AEF≌△QMF≌△BNQ，此时问题转化为梅文鼎证明。
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证法七（欧几里得证明）：在直角边为a、b，斜边为c的直角三角形中，分别以a、b、c为边作正方形，如下图所示。连接FB和CD，过C点作CN⊥DE交DE于E点，交AB于M点。∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）而△FAB的面积=△CAD的面积=（½）•acsin（90°+∠CAB）=（½）a²∵△CAD与矩形AMND等底等高∴矩形AMND的面积为△CAD面积的两倍，即a²同理可得矩形BMNE的面积为b²∵正方形ADEB的面积=矩形AMND的面积+矩形BMNE的面积∴c²=a²+b²
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证法八（相似三角形性质证明）如下图所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，过C点作CD垂直于AB，交AB于D点。∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B∴△BDC∽△BCA∴BD∶BC=BC∶BA∴BC²=BD•BA同理可得AC²=AD•AB∴BC²+AC²=BD•BA+AD•AB=(BD+AD)•AB=AB²,即a²+b²=c²
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证法九（杨作玫证明）：做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边分别为a、b（b>a）斜边长为c，再做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼。过A点作AG⊥AC，交DF于G点，AG交DE于H点。过B作BI⊥AG，垂足为I点。过E点作EJ与CB的延长线垂直，垂足为J点，EJ交AG于K点,交DB于L点。∵∠BAE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC∵GA⊥AC,BC⊥AC∴GA∥BC∵EJ⊥BC∴EJ⊥GA∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c∴△EAK≌△BAC（AAS）∴EK=a，KA=b由作法易得四边形BCAI为矩形∴AI=a,KI=b-a∵△BAC≌△EDF∴△EAK≌△EDF∴∠FED=∠KEA∴∠FEK=90°∴四边形EFGK为正方形，同时四边形DGIB为直角梯形用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c²=S1+S2+S3+S4+S5①∵S8+S3+S4=½[b+(b-a)]•[a+(b-a)]=b²-½ab，S5=S8+S9∴S3+S4=b²-½ab-S8=b²-S1-S8②把②代入①得c²=S1+S2+b²-S1-S8+S8+S9=b²+S2+S9=b²+a²
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证法十（李锐证明）：设直角三角形两直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c。做三个边长分别为a、b、c的正方形，按下图相拼，使AEG三点共线，过Q点作GM⊥AG,交点为M,用数字表示面积的编号。∵∠TBE=∠ABH=90°∴∠TBH=∠EBA∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b∴△HBT≌△ABE（ASA）∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°∴∠GHF=∠TBH=∠DBC∵BD=BE-ED=b-a，∠G=∠BDC=90°∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM∵AB=AQ=c∴△ABE≌△QAM（AAS）∴△QAM≌△HBT，S5=S8同时有AR=AE=QM=a，且∠QFM与∠ACR分别为∠GHF与∠DBC的余角∴∠QFM=∠ACR∵∠R=∠FMQ=90°∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6∵c²=S1+S2+S3+S4+S5,a²=S1+S6,b²=S3+S7+S8S7=S2,S8=S5,S4=S6∴a²+b²=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c²
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证法十一（利用切割线定理证明）：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B为圆心，a为半径画圆，AB交圆与D点，AB的延长线交圆于E点。根据切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）可得：AC²=AD•AE∴b²=(c-a)(c+a)=c²-a²∴a²+b²=c²
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证法十二（利用多列米定理证明）：在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，过A点作AD∥CB,过B点作BD∥CA,则四边形ACBD为矩形，矩形ACBD内接于唯一的一个圆。根据多米列定理（圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和）可得：AB•DC=DB•AC+AD•CB∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a∴c²=b²+a²
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证法十三（作直角三角形的内切圆证明）：在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。作Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F，如下图所示，设圆O的半径为r。∵AB=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r∴a+b=2r+c(a+b)²=(2r+c)²a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²∵S△ABC=½ab∴4S△ABC=2ab∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=½cr+½ar+½br=½(a+b+c)r=½(2r+c+c)r=r²+rc∴4(r²+rc)=2ab∴a²+b²+2ab=2ab+c²∴a²+b²=c²
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证法十四（利用反证法证明）：在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。过C点作CD⊥AB，垂足为D点，如下图所示。假设a²+b²≠c²，即AC²+BC²≠AB²则由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知AC²≠AB·AD或BC²≠AB·BD即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB在△ADC和△ACB中∵∠A=∠A∴若AD∶AC≠AC∶AB，则∠ADC≠∠ACB在△CBD和△ACB中∵∠B=∠B∴若BD∶BC≠BC∶AB，则∠CDB≠∠ACB∵∠ACB=90°∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°这与CD⊥AB矛盾，所以假设不成立∴a²+b²=c²
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证法十五（辛卜松证明）：直角三角形以a、b为直角边，以c为斜边。作边长为a+b的正方形。把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)²=a²+b²+2ab把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)²=4x½ab+c²=2ab+c²∴a²+b²+2ab=2ab+c²∴a²+b²=c²
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证法十六（陈杰证明）：设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。做两个边长分别为a、b的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。用数字表示面积的编号，如下图所示。在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则AD=c∵EM=EH+HM=b+a,ED=a∴DM=EM―ED=(b+a)―a=b又∵∠CMD=90°，CM=a，∠AED=90°，AE=b∴RtΔAED≌RtΔDMC(SAS)∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180°，∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90°∴∠ADC=90°∴作AB∥DC，CB∥DA，则四边形ABCD是一个边长为c的正方形∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90°∴∠BAF=∠DAE。连结FB，在ΔABF和ΔADE中∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE∴ΔABF≌ΔADE(SAS)∴∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=a∴点B、F、G、H在一条直线上在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG(HL)∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅，b²=S₁+S₂+S₆，a²=S₃+S₇，S₁=S₅=S₄=S₆+S₇，∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆=S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇)=S₂+S₃+S₄+S₅=c²∴a²+b²=c²
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