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幂级数和函数怎么求

发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理

问题一：幂级数的和函数常见的步骤。途中怎么得出来的。求过程利用无穷递缩等比数列的求和公式

S＝首项/(1－公比)

|公比|<1

过程如下：

问题二：幂级数的和函数到底是怎么求的？书上的例题看来看去也不明白在干啥呀……用求导及积分法比较好求：

记f(x)=∑x^(2n-1)/(2n-1)

求导得：f'(x)=∑x^(2n-2)

这样右端就可以求和了，f'(x)=1/(1-x2)=1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]

积分就得到f(x)=C+1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)]

由于有f(0)=0,因此得C=0

故f(x)=1/2ln[(1+x)/(1-x)]

而∑1/[(2n-1)2^n]=1/√2∑1/[(2n-1)(√2)^(2n-1)]

=1/√2f(1/√2)

=1/√2*1/2*ln[(1+1/√2)/(1-1/√2)]

=1/√2*ln(√2+1)

问题三：幂级数的和函数怎么求？谢谢！当x=0时,S(0)=0.当x≠0时,

S(x)=∑n^2*x^n=x∑[(n+1)n-n]*x^(n-1),

S(x)/x=∑(n+1)n*x^(n-1)-∑n*x^(n-1)

=[∑x^(n+1)]''-[∑x^n]'

=[x^2/(1-x)]''-[x/(1-x)]'=2/(1-x)^3-1/(1-x^2)=(1+x)/(1-x)^3,

得S(x)=x(1+x)/(1-x)^3,已包含了x=0的情况.

收敛域-1

问题四：怎样将一个函数展开成幂级数f(x)=1/(1-2x)=1+2x+(2x)2+(2x)3+......

=1+2x+4x2+8x3+......+2^n*x^n+.....

f(x)=ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..........

问题五：求幂级数的和函数时的s怎么求求幂级数的和函数的方法，通常是：

A、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，

或求导定积分多次联合并用；

B、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

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需要注意的是：

运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则，

将一定出错。

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下面五张图片示例，供楼主参考。

若点击放大图片更加清晰。

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问题六：带有阶乘的幂级数怎么求和函数啊？有阶乘n!，(2n)!等等的级数

通常都是指数函数，三角函数等的组合

e^x=Σx^n/n!

sinx=Σ(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!

cosx=Σ(-1)^n*x^(2n)/(2n)!

只要把和函数凑成这样类似形式的函数就可以了

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