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多元函数的极值及其求法

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

多元函数的极值及其求法如下：

1、利用极限四则运算性质或者函数连续性求极限。

2、利用恒等变形求极限，主要是消去分母中极限为零的因子（分子分母有理化）。

3、利用等价无穷小求极限。

4、利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量求极限。

5、利用夹逼准则。

6、利用两个重要极限。

7、利用极坐标法。

8、利用取对数法。

9、运用洛必达法则求二元函数的极限。

10、利用二元函数极限定义求二元函数极限。

例如：

已知2/x+1/y=1,求x+y的最大值。用多元函数求最值，则过程如下：

设F(x,y)=x+y+λ(2/x+1/y-1),

分别对参数求偏导数得：

Fx=1-2λ/x^2,Fy=1-λ/y^2,

Fλ=2/x+1/y-1。

令Fx=Fy=Fλ=0,则：

x^2=2λ,y^2=1λ,

x=√2λ,y=√λ。

代入得方程：

√2/√λ+1/√λ=1,

√λ=(√2+1),

则：x+y的最大值

=(√2+1)*√λ

=(√2+1)^2

=3+2√2。