证明绝对值不等式的基本方法
发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理
绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值重要不等式推导过程：我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);所以有：-|a|≤a≤|a|......①-|b|≤b≤|b|......②-|b|≤-b≤|b|......③由①+②得：-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即|a+b|≤|a|+|b|......④由①+③得：-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|即|a-b|≤|a|+|b|......⑤另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b||b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|由④知：|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：| |a|-|b| |≤|a-b|......#9322;综合④⑤⑩#9322;得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。