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高等数学极限基础知识

发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理

高等数学中的极限是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域起着核心作用。

以下是高等数学极限的基础知识：

1.极限的定义：设函数 f(x) 在某个点 a 的某个邻域内有定义，如果对于给定的任意正数 ε，存在另一个正数 δ，使得当 x 在 (a-δ, a+δ) 的区间内且不等于 a 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记作 lim(x→a) f(x) = L。这里的 L 可以是一个实数或者正负无穷大。

2.无穷大与无穷小：当函数 f(x) 在某一点 a 的某个邻域内，当 x 趋于 a 时，若 f(x) 的绝对值可以任意大，则称 f(x) 是 x 趋于 a 时的一个无穷大。若 f(x) 的绝对值可以任意接近零，则称 f(x) 是 x 趋于 a 时的一个无穷小。

3.极限的性质：

a.唯一性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时存在极限，那么该极限是唯一的。

b.保号性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在且大于零（或小于零），那么在 a 的某个邻域内，函数 f(x) 的取值始终大于零（或小于零）。

c.有界性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在且有限，那么在 a 的某个邻域内，函数 f(x) 的取值都是有界的。

4.极限运算法则：

a.基本四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 的某个邻域内有定义，且 lim(x→a) f(x) = L 和 lim(x→a) g(x) = M，则有以下结论：

lim(x→a) [f(x)±g(x)] = L±M

lim(x→a) [f(x)·g(x)] = L·M

lim(x→a) [f(x)/g(x)] = L/M （当 M ≠ 0 时）

b.复合函数法则：如果函数 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 b，函数 f(x) 在 b 处存在极限 L，则复合函数 f(g(x)) 在 x 趋于 a 时的极限为 L。

5.重要的极限：

a.自然对数的基数 e 的极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e

b.正弦函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1

c.三角函数的极限：lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2

这些是高等数学中极限的基础知识，极限还涉及到数列极限、级数的收敛性等内容。通过对极限的研究，我们可以更深入地理解和应用微积分和数学分析的相关概念和方法。