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两个基的过渡矩阵怎么求

发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理

在线性代数中，两个基的过渡矩阵可以用来描述从一个基到另一个基的变换关系。如果我们有两个基：原始基（称为基A）和目标基（称为基B），过渡矩阵可以帮助我们在这两个基之间进行坐标转换。下面是求解两个基的过渡矩阵的一般步骤：

假设我们有两组基向量分别是：基A: {a1, a2, ..., an} 基B: {b1, b2, ..., bn}

将基B中的每个向量以基A表示的线性组合，得到过渡矩阵T的列向量： T = [a1 | a2 | ... | an]

其中| 表示拼接。

对于目标基B中的每个向量bi，利用基A中的向量表示它的线性组合，得到该向量在基A下的坐标表示[xi]A： bi = xi1 * a1 + xi2 * a2 + ... + xin * an

将该等式写成矩阵形式： [bi] = T * [xi]A

这里[xi]A 和 [bi] 分别表示向量xi和bi在基A和基B下的坐标表示。

根据上述方程，通过求解线性方程组 T * [xi]A = [bi]，我们可以得到过渡矩阵T，其中xi为目标基B中的坐标向量，[bi]为对应的基B下的向量坐标。

需要注意的是，过渡矩阵在从基A到基B的转换下通常是可逆的。如果两个基是正交归一的，则过渡矩阵T是一个正交矩阵，其逆矩阵等于它的转置。