矩阵的特征值和对角化有什么关系
发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理
特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。
为讨论方便设A为m阶方阵。证明设方阵A的秩为n。无论特征值里有没0，A的行列式都为所有特征值的乘积。
特征值与秩的相关定理：
定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。
引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
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