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行列式的乘法公式是什么啊

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

行列式的乘法公式是指两个矩阵的行列式乘积等于它们的乘积的行列式。具体来说，设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵，则有：

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$

这个公式是非常重要的，因为它可以用来简化矩阵的计算，特别是在解线性方程组和求逆矩阵时。

下面我们来证明这个公式。

首先，我们需要定义一个矩阵的余子式和伴随矩阵。

对于一个 $n$ 阶方阵 $A$，它的任意一个元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 定义为将 $A$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 列删去后所得到的 $(n-1)$ 阶矩阵的行列式。即：

$$M_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$$

其中 $A_{ij}$ 是 $A$ 中删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后所得到的矩阵。

接着，我们定义 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为：

$$A^*=[M_{ij}]^T$$

即将 $A$ 的所有余子式按照一定的规律排列成一个矩阵，并将其转置。

有了这些定义，我们就可以证明行列式的乘法公式了。

首先，我们考虑 $A$ 是可逆矩阵的情况。由于 $A$ 可逆，所以它的行列式不为零。我们可以通过对 $A$ 进行初等行变换，将它变成一个上三角矩阵 $U$，即：

$$U=E_kE_{k-1}\cdots E_1A$$

其中 $E_1,E_2,\cdots,E_k$ 是一系列初等矩阵。由于初等矩阵的行列式都为 $1$ 或 $-1$，所以有：

$$\det(U)=\det(A)$$

又因为 $U$ 是一个上三角矩阵，所以它的行列式就是它的对角线元素的乘积，即：

$$\det(U)=\prod_{i=1}^n u_{ii}$$

于是我们得到：

$$\det(A)=\prod_{i=1}^n u_{ii}=\prod_{i=1}^n\frac{\det(U_i)}{\det(U_{i-1})}$$

其中 $U_i$ 是 $U$ 的前 $i$ 行和前 $i$ 列所组成的矩阵，$U_0$ 是一个 $n$ 阶零矩阵。

接下来，我们考虑 $A$ 和 $B$ 的乘积 $C=AB$。由于 $C$ 的每个元素 $c_{ij}$ 都可以表示为 $A$ 的第 $i$ 行和 $B$ 的第 $j$ 列的内积，即：

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$$

所以 $C$ 的行列式可以表示为：

$$\det(C)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i,\sigma(i)}$$

其中 $S_n$ 是 $n$ 个元素的置换群，$\sigma$ 是 $S_n$ 中的一个置换，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是 $\sigma$ 的符号，即 $(-1)^{\text{逆序对数}}$。

将 $c_{ij}$ 的表达式代入上式，我们有：

$$\det(C)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{k,\sigma(i)}$$

交换求和号的顺序，并将 $\sigma$ 中的元素重新编号，我们得到：

$$\det(C)=\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{j,\tau(i)}\right)$$

其中 $\tau$ 是 $S_n$ 中的一个置换，$\operatorname{sgn}(\tau)$ 是 $\tau$ 的符号。

现在我们来考虑如何将上式化简。首先，我们可以将 $A$ 和 $B$ 分别变成上三角矩阵 $U$ 和 $V$，即：

$$U=E_kE_{k-1}\cdots E_1A,\quad V=F_lF_{l-1}\cdots F_1B$$

其中 $E_1,E_2,\cdots,E_k$ 和 $F_1,F_2,\cdots,F_l$ 是一系列初等矩阵。由于初等矩阵的行列式都为 $1$ 或 $-1$，所以有：

$$\det(U)=\det(A),\quad\det(V)=\det(B)$$

接下来，我们考虑如何将 $\prod_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{j,\tau(i)}\right)$ 化简。注意到：

$$\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{j,\tau(i)}=\sum_{j=1}^n u_{ij}v_{j,\tau(i)}$$

其中 $u_{ij}$ 是 $U$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素，$v_{ij}$ 是 $V$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素。由于 $U$ 和 $V$ 都是上三角矩阵，所以当 $i>j$ 时，$u_{ij}=v_{ij}=0$。当 $i\leq j$ 时，$u_{ij}$ 和 $v_{ij}$ 都可以表示为 $U_{i,j}$ 和 $V_{i,j}$ 的乘积，其中 $U_{i,j}$ 和 $V_{i,j}$ 是 $U$ 和 $V$ 的前 $i$ 行和前 $j$ 列所组成的矩阵。于是有：

$$\sum_{j=1}^n u_{ij}v_{j,\tau(i)}=\sum_{j=1}^i U_{ij}V_{j\tau(i)}$$

将上式代入 $\prod_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{j,\tau(i)}\right)$，并交换求和号的顺序，我们得到：

$$\prod_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{j,\tau(i)}\right)=\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^i U_{ij}V_{j\tau(i)}=\det(U)\det(V^\tau)$$

其中 $V^\tau$ 是 $V$ 的转置矩阵。

于是我们得到：

$$\det(C)=\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\det(U)\det(V^\tau)=\det(U)\det(V)\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\det((V^\tau)^*)$$

其中 $V^*$ 是 $V$ 的伴随矩阵。

注意到 $V^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $V$ 的余子式 $M_{ji}$，即 $V$ 中删去第 $j$ 行和第 $i$ 列所得到的 $(n-1)$ 阶矩阵的行列式。于是 $(V^\tau)^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $V$ 中删去第 $\tau(j)$ 行和第 $i$ 列所得到的 $(n-1)$ 阶矩阵的行列式 $M_{i\tau(j)}$。于是有：

$$(V^\tau)^*=[M_{i\tau(j)}]^T$$

于是我们得到：

$$\det(C)=\det(U)\det(V)\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^n M_{i\tau(i)}=\det(U)\det(V)\det(C)$$

其中最后一个等式是因为 $\sum_{\tau\in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^n M_{i\tau(i)}$ 就是 $C$ 的行列式。

综上所述，我们证明了行列式的乘法公式。注意到这个公式对于任意的方阵都成立，不需要假设 $A$ 和 $B$ 可逆。如果 $A$ 或 $B$ 不可逆，则它们的行列式为 $0$，所以乘积的行列式也为 $0$。