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两向量垂直的充要条件是什么？

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

a·b=0

两向量垂直的充要条件为a·b=0。若a=（a1,a2）b=（b1,b2），垂直的充要条件为a1b1+a2b2=0。两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。

向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

向量的大小

向量的大小，也就是向量的长度（或称模）。向量a的模记作a。

1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)，a=√(x^2+y^2)。

2、因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小。

在向量一章中，探求有关向量位置关系的等价条件是很重要的问题。教材中给出了向量垂直的向量形式和坐标表示，但有时用这两种表示形式做题不能起到简化运算作用，甚至带来麻烦。现给出向量垂直坐标表示的另外一种形式，并通过实例展现其解题的优势。

两非零向量a与b,并设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b垂直等价于a·b=0(向量形式),a与b垂直等价于x1x2+y1y2=0(坐标形式).结论2两非零向量a=(m,n)与b垂直的充要条件是存在非零实数λ,使b=λ(-n,m)

证明充分性

由a·b=(m,n)·λ(-n,m)=λ(-mn+nm)=0,得a⊥b

必要性

若a⊥b即a·b=0,设b=(x,y),即得mx+ny=0.由于a是非零向量,可设n≠0则y=-mnx,所以b=(x,y)=x,-mn()x=-xn(-n,m),我们可以取λ=-xn即可。