什么是拉格郎日乘数法
发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理
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拉格朗日乘数法在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高,使水箱的表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则水箱容积V=xyz
焊制水箱用去的钢板面积为S=2xz+2yz+xy
这实际上是求函数S在V限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件
限制下求函数F的极值
条件极值与无条件极值的区别
条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如求马鞍面z=x.^2-y.^2+1被平面XOZ平面所截的曲线上的最低点。
从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面平面所截的曲线上，有极小值1，这个极小值就称为条件极值。
二.条件极值点的必要条件
设在约束条件之下求函数的极值.当满足约束条件
的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数存在条件时,由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点,有
.
代入,就有
,
(以下、、、均表示相应偏导数在点的值.)
即—,亦即(,),).
可见向量(,)与向量,)正交.注意到向量,)也与向量,)正交,即得向量(,)与向量,)线性相关,即存在实数,使
(,)+,).
亦即
Lagrange乘数法:
由上述讨论可见,函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组
的解.
引进所谓Lagrange函数
,(称其中的实数为Lagrange乘数)
则上述方程组即为方程组
因此解决条件极值通常有两种方法
1）直接的方法是从方程组（1）
中解出并将其表示为
代入消去成为变量为的函数
将问题化为函数的无条件极值问题；
2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数
的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一.用Lagrange乘数法解应用问题举例:
例1抛物面被平面截成一个椭圆.求该椭圆到坐标
原点的最长和最短距离.
例3求函数在条件
下的极小值.并证明不等式,其中为任意正常数.
现在就以上面水箱设计为例，看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程
解：这个问题的实质是求函数
在条件下的最小值问题，应用拉格朗日乘法，令
L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';
dLdx=diff(L,'x')
dLdy=diff(L,'y')
dLdz=diff(L,'z')
dLdv=diff(L,'v')
dLdx=2*z+y+v*y*z
dLdy=2*z+x+v*x*z
dLdz=2*x+2*y+v*x*y
dLdv=x*y*z-V
令L的各偏导等零，解方程组求稳定点
s1='2*z+y+v*y*z';
s2='2*z+x+v*x*z';
s3='2*x+2*y+v*x*y';
s4='x*y*z-V';
[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)
v=
[-2*2^(2/3)/V^(1/3)]
[-8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]
[-8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]
x0=[2^(1/3)*V^(1/3)]
y0=[2^(1/3)*V^(1/3)]
z0=[1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]
这里显然只有实数解才有意义，所以L的稳定点只有下面一个
又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点，即水箱长宽与为高的2倍时用钢板最省。
下面再看一个条件极值求解问题
例2抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长最短距离。(x73)
解这个问题的实质是求函数
在条件与下的最大、最小值问题，应用拉格朗日乘法，令
L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)';
dLdx=diff(L,'x')
dLdy=diff(L,'y')
dLdz=diff(L,'z')
dLdv=diff(L,'v')
dLdh=diff(L,'h')
dLdx=2*x+2*v*x+h
dLdy=2*y+2*v*y+h
dLdz=2*z-v+h
dLdv=x^2+y^2-z
dLdh=x+y+z-1
s1='2*x+2*v*x+h';
s2='2*y+2*v*y+h';
s3='2*z-v+h';
s4='x^2+y^2-z';
s5='x+y+z-1';
[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5);
x0,y0,z0
x0=
[3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[-1/2+1/2*3^(1/2)]
[-1/2-1/2*3^(1/2)]
y0=
[3/4+1/4*i*13^(1/2)]
[3/4-1/4*i*13^(1/2)]
[-1/2+1/2*3^(1/2)]
[-1/2-1/2*3^(1/2)]
z0=-1/2，-1/2，2-3^(1/2)，2+3^(1/2)
即的稳定点有两个
因为函数在有界闭集上连续，必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是最大点，另一个是最小，其最大
最小值为。(x73)
x1=-1/2+1/2*3^(1/2);
x2=-1/2-1/2*3^(1/2);
y1=-1/2+1/2*3^(1/2);
y2=-1/2-1/2*3^(1/2);
z1=2-3^(1/2);
z2=2+3^(1/2);
f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2)
f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2)
f1=0.5829;f2=4.2024
http://218.90.174.165/jcb/wangye/dxja/htm/d4_3.htm