百科知识网

线性代数：如何求特征值和特征向量

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

求解矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要问题，下面是求解过程：特征值的求解设 AA 是一个 nn 阶方阵，\\lambdaλ 是 AA 的一个特征值，xx 是 AA 的一个对应于特征值 \\lambdaλ 的特征向量，则有：Ax=\\lambda xAx=λx移项得：(A-\\lambda I)x=0(A−λI)x=0其中，II 是 nn 阶单位矩阵。

由于 xx 不为零向量，所以 A-\\lambda IA−λI 不可逆，即 \\det(A-\\lambda I)=0det(A−λI)=0。这个式子称为特征方程，可以求出 AA 的所有特征值。特征向量的求解对于每个特征值 \\lambda_iλi，我们可以通过解齐次线性方程组 (A-\\lambda_i I)x=0(A−λiI)x=0 求出对应的特征向量 x_ixi。注意特征向量不唯一，只有方向相同。总结一下求解矩阵的特征值和特征向量的步骤如下：求解特征方程 \\det(A-\\lambda I)=0det(A−λI)=0，得到所有的特征值 \\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn。对于每个特征值 \\lambda_iλi，解齐次线性方程组 (A-\\lambda_i I)x=0(A−λiI)x=0，得到对应的特征向量 x_ixi。需要注意的是，特征值和特征向量是矩阵的固有属性，不随矩阵的行列式、秩等性质的变化而变化。在实际应用中，求解矩阵的特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化、矩阵的相似变换等问题。