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求3000字有关数学史的论文

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

从算法教学管窥中国古代数学史

俞昕

(浙江湖州市第二中学313000)

关于算法的涵义,人们有着不同的界定.普

通高中数学课程标准(实验)在学生算法目标达

成度上,重在算法思想的理解与应用,界定现代算

法的意义就是解决某一类问题的办法.确切地说,

就是对于某一类特定的问题,算法给出了解决问

题的一系列(有穷)操作,即每一操作都有它的确

定性的意义(使计算机能够按照它的指令工作),

并在有限时间(有穷步骤)内计算出结果.

普通高中数学课程标准(实验)对!算法部

分∀进行说明时,突出强调!需要特别指出的是,中

国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀.吴文俊

先生曾经说过!我们崇拜中国传统数学,决非泥古

迷古、为古而古.复古是没有出路的.我们的目的

不仅是要显示中国古算的真实面貌,也不仅是为

了破除对西算的盲从,端正对中算的认识,我们主

要的也是真正的目的,是在于古为今用.∀算法教

学中蕴涵着丰富的数学史教育价值,作为新时代

的高中数学教师是有必要了解这一点的.

1中国古代数学的特点

古代数学思想分为两大体系,一个是以欧几

里得的几何原本为代表的西方数学思想体系,

这个体系以公理化的思想、抽象化的方法、封闭的

演绎体系为特色.另一个则是以我国的九章算

术为代表的东方数学思想体系,这个体系以算法

化的思想、构造性的方法、开放的归纳体系为特

色.我国传统数学在从问题出发,以解决问题为主

旨的发展过程中,建立了以构造性与机械化为其

特色的算法体系,这与西方数学以欧几里得几何

原本为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥

相对.

中国古代数学中的!术∀相当于现代数学术语

中的!公式∀,两者虽有相同点(都可以用来解决一

类有关问题),其差异也非常之大.主要表现在,

!公式∀只提供了几个有关的量之间的关系,指明

通过哪些运算可由已知量求出未知量,但并没有

列出具体的运算程序,一般地,认为这种程序是已

知的了.但!术∀则由怎样运算的详细程序构成的,

可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体

程序,即把!公式∀展开为使用某种计算工具的具

体操作步骤.从这点看,!术∀正是现代意义上的算

法,是用一套!程序语言∀所描写的程序化算法,可

以照搬到现代计算机上去.我国古代数学包括了

今天初等数学中的算术、代数、***和三角等多方

面的内容.由于受实用价值观的影响,中国传统数

学的研究遵循着一种算法化思想,这种思想从九

章算术开始一直是中国古代数学著作大都沿袭

的模式:

实际问题###归类###筹式模型化###程序化算法

即将社会生产生活中的问题,先编成应用问题,按

问题性质分类,然后概括地近似地表述出一种数

学模型,借助于算筹,得到这一类问题的一般解

法.把算法综合起来,得到一般原理,分别隶属于

各章,人们按照书中的方法、原理和实例来解决各

种实际问题.可以说,中国传统数学以确定算法为

基本内容,又以创造和改进算法为其发展的方向.

受九章算术的影响,在之后的几个世纪,一

些数学家的著作都以算法为主要特点,包括王孝

通的辑古算经、贾宪的黄帝九章算法细草、刘

益的议古根源、秦九韶的数书九章、李冶的

测圆海镜和益古演段、杨辉的详解九章算

法、日用算法和杨辉算法,这些著作中包括

了增乘开方术、贾宪三角、高次方程数值解法、内

插法、一次同余式组解法等一些著名的算法,进一

步发展了中国古代数学算法化的特点,使得算法

的特点得到了进一步的强化和发展.

11中国古代数学的算法化思想

算法化的思想是中国古代数学的重要特点,

并贯穿于中国古算整个发展过程之中.即使是与

24数学通报2010年第49卷第2期图形有关的几何问题也不例外,中算家们将几何

方法与算法有机地结合起来,实现了几何问题的

算法化.这样从问题出发建立程序化的算法一直

是古代中国数学研究的传统,也是中算家们努力

的方向.这种算法化的思想着重构造实践,更强调

!经验∀、!发现∀和构造性思维方式下从无到有的

发明,对今天的算法教学与研究具有重要的启迪

作用.

中国古代数学算法化的思想具体表现如下:

第一步,把实际中提出的各种问题转化为数学模

型;第二步,把各种数学模型转化为代数方程;第

三步,把代数方程转化为一种程序化的算法;第四

步,设计(并逐步改进)、归纳、推导(寓推理于算法

之中)出各种算法;第五步,通过计算回溯逐步达

到解决原来的问题.

12中国古代数学的构造性方法

所谓构造性方法是解决数学问题的一种方

法,是创造性思维方式直接作用的结果.按照现代

直觉主义者,特别是构造主义者的观点,对于一个

数学对象,只有当它可以通过有限次的操作而获

得,并且在每步操作之后都能有效地确定下一步

所需要采取的操作,才能说它是存在的.按照这种

思维方式,可以使概念和方法按固定的方式在有

限步骤内进行定义或得以实施,或给出一个行之

有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造

出来.换言之,就是能用有限的手段刻画数学对象

并针对问题提出具体的解法.

中国古代数学的算法化思想与构造性的方法

紧密相连.由于古代中算家所关心的大多是较为

实用的问题,他们在解决问题时首先考虑是如何

得到可以直接应用的、可以方便操作的解,而不会

满足于仅仅知道解在理论上的存在性.因为这种

纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来

说是没有多大意义的.从而我们推断,构造性方法

的产生是算法化思想直接作用的结果.

从我国许多经典算书中可以发现,数学构造

性方法在算法中有许多精彩的体现.例如就!方

程∀的筹算图阵及其程序设计而言,首先!群物总

杂,各列有数,总言其实∀,这是对每行中未知数的

系数和常数项的安排,其次!令每行为率,二物者

再程,三物者三程,皆如物数程之∀,这是对诸行关

系的安排,!并列为行∀又说明了什么叫!方程∀.这

为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说

服力的样板.

由于构造性的方法特别强调运算的可操作程

度,所以构造出的!术∀可以通过一系列有限的运

算求出解来,具有一般性.时至今日我国古算家所

设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电

子计算机上实现.这也是我国古算在算法上长期

居于领先地位的一个重要原因.

2中国古代数学中的优秀算法案例

2.1中国古代的代数学

代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自

豪的领域.中小学数学中的算术、代数内容,从记

数以至解联立的线性方程组,实质上都是中国古

代数学家的发明创造.结合新课程的算法教学,笔

者选取我国古代著名算法进行分析.

2.1.1求最大公约数的算法(更相减损术)

中国古代数学中,未曾出现素数、因数分解等

概念,但是发明了求两整数的最大公约数的方

法###更相减损术:!可半者半之,不可半者,副置

分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等

数约之.∀事实上此术中包含了三个步骤:

第一步,!可半者半之∀,即进行观察,若分子、

分母都是偶数,可先取其半;

第二步,!不可半者,副置分母、子之数,以少

减多,更相减损,求其等也∀;

第三步,!以等数约之∀.

其中第二步!以少减多,更相减损∀是关键,又

是典型的机械化程序.在中国古代数学中,将最大

公约数称作!等∀.由于!更相减损∀过程终可以在

有限步骤内实现,所以它是一种构造性的方法.若

用现代语言翻译即为:第一步,任意给定两个正整

数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约减,若不

是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的

数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减

小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则

这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所

求的最大公约数.下面运用QBASIC语言来编写

相应的程序(见程序1).

252010年第49卷第2期数学通报程序1

INPUT!m,n=∀;m,n

IFm<nTHEN

a=m

m=n

n=a

ENDIF

k=0

WHILEmMOD2=0ANDnMOD2=0

m=m/2

n=n/2

k=k+1

WEND

d=m-n

WHILEdn

IFd>nTHEN

m=d

ELSE

m=n

n=d

ENDIF

d=m-n

WEND

d=2∃k*d

PRINTd

END

程序2

INPUTA,B

WHILEAB

IFA>BTHEN

A=A-B

ELSE

B=B-A

ENDIF

WEND

PRINTB

END

程序3

INPUT!M,N(M>N)∀;M,N

DO

R=M-N

IFR>NTHEN

M=R

ELSE

M=N

N=R

ENDIF

LOOPUNTILR=0

PRINTM

END

程序4

INPUT!n=∀;n

INPUT!an=∀;a

INPUT!x=∀;x

v=a

i=n-1

WHILEi>=0

PRINT!i=∀;i

INPUT!ai=∀;a

v=v*x+a

i=i-1

WEND

PRINTv

END

程序2和3是两个简化的参考程序,是从不

同的角度来实现更相减损的过程.

!更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数

的算法,这是九章算术的一个重要成就,与古希

腊欧几里得的几何原本中用来求最大公约数的

!欧几里得算法∀,即辗转相除法,有异曲同工之

妙.欧几里得在几何原本中针对这个问题引入

了许多概念,给出了冗长的逻辑证明.尽管如此,

他还是暗用了一条未加说明的公理,即如果a,b

都被c整除,则a-mb也能被c整除.中国古算采

用的!更相减损∀方法,实际上也暗用了一条未加

说明的公理,即若a-b可以被c整除,则a,b都

能被c整除.正如刘徽在九章算术注中!其所以

相减者,皆等数之重叠∀.从形式上看!更相减损

术∀比!辗转相除法∀更复杂,循环次数要比辗转相

除法多,但对于计算机来说作乘除运算要比作加

减运算慢得多,因此更相减损术在计算机上更为

好用.

26数学通报2010年第49卷第2期2.1.2求一元n次多项式值的算法(秦九韶算

法)

秦九韶,南宋著名数学家,其学术思想充分体

现在数书九章这一光辉名著中,该著作不仅继

承了九章算术的传统模式,对中算的固有特点

发扬光大,而且完全符合宋元社会的历史背景,是

中世纪世界数学史上的光辉篇章.书中记载了!正

负开方术∀、!大衍求一术∀等著名算法.

在数书九章卷五第17个问题以!尖田求

积∀为例的算法程序中,可以看出秦九韶对于求一

元n次多项式f(x)=anx

n

+an-1x

n-1

+%+a1x

+a0的值所提出的算法.秦九韶算法的特点在于

通过反复计算n个一次多项式,逐步得到原多项

式的值.在欧洲,英国数学家霍纳(Horner)在

1819年才创造了类似的方法,比秦九韶晚了572

年.秦九韶算法把求f(x)=anx

n

+an-1x

n-1

+%

+a1x+a0的值转化为求递推公式

v0=an

vk=vk-1x+an-kk=1,2,%,n

中vn的值.通

过这种转化,把运算的次数由至多(1+n)n

2

次乘

法运算和n次加法运算,减少为至多n次乘法运

算和n次加法运算,大大提高了运算效率.这种算

法的QBASIC语言程序如程序4所示.算法步骤

是如下的五步:第一步,输入多项式次数n、最高

次项的系数an和x的值;第二步,将v的值初始

化为av,将i的值初始化为n-1;第三步,输入i

次项的系数ai;第四步,v=vx+ai,i=i-1;第五

步,判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三

步,否则输出多项式的值v.

2.2中国古代的几何学

中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中

的一些实际问题中产生,并为生产生活服务.基于

传统实用价值观的影响,中国古代的几何学并没

有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体

系,所以中国古代几何学在整个数学史上的地位

并不突出,但在许多几何问题的处理上也突出了

算法化这一特色.下面以!割圆术∀为例作简要

分析.

中国古代数学家刘徽创立!割圆术∀来求圆的

面积及其相关问题.刘徽!瓤而裁之∀,即对与圆周

合体的正多边形进行无穷小分割,分成无穷多个

以正多边形每边为底、圆心为顶点的小等腰三角

形,这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面

积.这样通过对直线形的无穷小分割,然后求其极

限状态的和的方式证明了圆的面积公式.刘徽的

算法!割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可

割,则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过

程,可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化

趋势,并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值

的方法,将这种极限思想用于近似计算.其中包含

有迭代过程和子程序,是一种典型的循环算法,充

分体现了程序化的特点.

中算家的几何学,并不追求逻辑论证的完美,

而是着重于实际计算问题的解决,!析理以辞,解

体用图∀,以建立解决问题的一般方法和一般原

则.但另一方面,这种几何学又是以面积、体积、勾

股相似等为基本概念,以长方形面积算法、长方形

体积算法、相似勾股形的性质为出发点的,整个几

何理论建立在!出入相补原理∀等基本原理之上.

例如,由勾股定理自然地引起平方根的计算问题,

而求平方根和立方根的方法,其步骤就是以出入

相补原理为几何背景逐步索骥而得.这方面内容

的介绍,不仅可以丰富学生的算法知识,而且可以

通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵,激发

学生学习算法的兴趣,体会算法在人类发展史中

的作用.

3中国古代数学算法的教学价值

3.1培养正确数学观的良好平台

中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上

差别很大,但是重要的是形式后面的认识论发展

线索可以为现代算法教学的体系、教学层次提供

依据.它的具体数学知识载体也是现代算法教学

的重要源泉.各种算法的创立就是创造性劳动的

产物,即是创造思维的一种!凝固∀和!外化∀.其

次,通过把一部分问题的求解归结为对于现成算

法的!机械应用∀,这就为人们积极地去从事新的

创造性劳动提供了更大的可能性.从而算法化也

就意味着由一个平台向更高点的跳跃.

吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重

见天日,开拓了数学机械化的新领域,吴先生提出

!数学教育的现代化就是机械化∀.他在研究中这

样写道:数学问题的机械化,就要求在运算和证明

过程中,每前进一步之后,都有一个确定的必须选

272010年第49卷第2期数学通报择的下一步,这样沿着一条有规律的,刻板的道

路,一直达到结论.证明机械化的实质在于,把通

常数学证明中所固有的质的困难,转化为计算的

量的复杂性.计算的量的复杂性在过去是人力不

可能解决的,而计算机的出现解决了这种复杂性.

吴先生的理论和实践已经表明,证明和计算是数

学的两个方面,且又是统一的,这在数学教育中具

有重要意义.我们应当引导学生了解古人对问题

思考的角度,学会站在巨人的肩膀上,比如按照中

国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算

机上实现开方.

培养学生在学习数学知识的同时更多地关心

所学知识的社会意义和历史意义,力图在面向未

来的同时通过同传统上的哲学、历史和社会学的

思想结合起来,形成正确的数学观.算法教学就为

此搭建了一个良好的平台,并且承载丰富的历史

底蕴.

3.2渗透爱国主义教育的最佳契机

与西方相比,中算理论具有高度概括与精练

的特征,中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算

的步骤之中,起到!不言而喻,不证自明∀的作用,

可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中

有直接应用的数学方法而构造的最为简单,精巧

的理论建筑物.因此中算理论可以说是一种!纲

目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细

目的总绳.以术为目,以率为纲,即是依算法划分

理论单元,而用基本的数量关系把它们连结成一

个整体.纲举目张,只有抓住贯串其中的基本理论

与原理,才能看清算法的来龙去脉.下面是吴文俊

先生总结的!关于算术代数部分发明创造的一张

中外对照表∀.

从算法教学管窥中国古代数学史

中国外国

位值制十进位记最迟在九章算术成书时已十分成熟印度最早在6世纪末才出现

分数运算周髀算经中已有,在九章算术成

书时已成熟印度最早在7世纪才出现

十进位小数刘徽注中引入,宋秦九韶1247年时已

通行西欧16世纪时始有之,印度无

开平方、立方周髀算经中已有开平方,九章算

术中开平、立方已成熟

西方在4世纪末始有开平方,但还无开立方,印度

最早在7世纪

算术应用九章算术中有各种类型的应用问题印度7世纪后的数学书中有某些与中国类似的问

题与方法

正负数九章算术中已成熟印度最早见于7世纪,西欧至16世纪始有之

联立一次方程组九章算术中已成熟印度7世纪后开始有一些特殊类型的方程组,西

方迟至16世纪始有之

二次方程九章算术中已隐含了求数值解法,

三国时有一般解求法印度在7世纪后,***在9世纪有一般解求法

三次方程唐初(公元7世纪初)有列方程法,求

数值解已成熟

西欧至16世纪有一般解求法,***10世纪有

几何解

高次方程宋时(12#13世纪)已有数值解法西欧至19世纪初始有同样方法

联立高次方程组与消元法元时(14世纪初)已有之西欧甚迟,估计在19世纪

28数学通报2010年第49卷第2期3.3品位数学美学思想的美妙境界

中国古代数学不但具有实用性特征,还蕴涵

着丰富的美学思想.比如九章算术中列方程的

方式,相当于列出其增广矩阵,其消元过程相当于

矩阵变换,而矩阵是数学美学方法中对称最典型

的表现形式之一;九章算术中用几何方法巧妙

地解决了很多代数问题,这是数形结合的统一:把

数学问题改编成歌诀,以便于掌握和传授,这是文

学艺术与数学的统一.总之,在算法教学中,应努

力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教

学,这对数学教育的发展具有重要的意义.

参考文献

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10李建华.算法及其教育价值[J].数学教育学报,2004,3

11李亚玲.算法及其学习的意义[J].数学通报,2004,2

(上接第23页)实验教师对课改实验进行探索、总

结、反思、调整,推广比较成熟的经验,同时纠正实

验过程中的偏颇与极端行为,教学过程逐步进入

新的稳定阶段.教学过程逐步过渡到以问题为主

线、以活动为主线的!无环节∀模式.

(2)受不同的教学理念影响,教师角色、学生

角色、教学目标、教学过程关注点等方面,在教学

过程中有很大差异.

教师角色学生角色教学目标教学过程关注

领导者

(权威)

接受者

(被动)

让学生掌

握数学知

识技能

知识引入,讲解

本质,巩固练习

主导者

(决定)

观察者

(协助)

让学生观

摩数学产

生过程

展示过程,注重

建构,强化训练

引导者

(组织)

参与者

(主动)

让学生参

与探究数

学生成过

程

问题情境,提出

问题,学生活动

(3)2004年高中数学课程改革后,课堂教学

发生一定的变化,广泛地进行!创设情境∀!提出问

题∀!引导学生探究探索∀,出现了以!问题主线∀、

!活动主线∀为主的课堂,出现了!问题情境学生

活动建立数**用数学同顾反思∀的整体课堂

构思.这些改变对于揭示数学的内在本质,发展学

生的思维能力起到积极的作用.

(4)由于受多种因素制约(特别是高考),与初

中相比,本次课改后高中数学课堂教学变化幅度

不大,近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主.

对于课改倡导的教学理念,只是渗透在传统的教

学模式中,目前高中数学课堂教学改革的力度、深

度与课改的预期目标还有一定的距离.我们看到

2008年的赛课教案的创新、探索力度,远没有

1990年的名师授课录大,那时还没有明确提出

课改理念,但他们却进行积极的探索,关注学生主

体.而今天,课改的理念已经系统培训5年,许多

教师仍停留在形式层面,未能变成自觉的行为.

参考文献

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2编委会.名师授课录(中学数学高中版)[M],上海教育出版

社,1991

32000年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教

案(会议资料)

42008年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的

教案(会议资料)

5李善良.关于数学教学中问题的设计[J].高中数学教与学,

2008,1

292010年第49卷第2期数学通报