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裴蜀定理推导过程

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

裴蜀定理也称为裴蜀定理或贝祖定理（Bézout's identity），它指出：如果a和b是整数，并且gcd(a, b) = d，则存在整数x和y，使得ax+by=d。

这里是裴蜀定理的推导过程：

1. 得到最大公约数首先令gcd(a,b)=d。那么因为d是a和b的最大公约数，所以可以表示为ax + by的形式，其中x和y都是整数。这个方程表明d是a和b的线性组合。

2. 预备引理接下来需要证明一个预备引理：对于任何整数a、b和c，如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y都是整数。这个引理可以通过以下方式进行证明：由于a|b和a|c，所以b=am和c=an，其中m和n都是整数。所以bx + cy = amx + any = a(mx + ny)，由此可知 a|(bx + cy)。

3. 逆向推导现在，我们要逆向推导出ax + by = d。由于gcd(a,b)=d，所以d是a和b的公约数，那么必然存在整数x0和y0，使得a = dx0，b = dy0。这样就有了ax0 + by0 = d的形式。然后通过将ax0乘以y（b = dy0 可以推得 y = b/d），并将by0乘以x（a = dx0 可以推得 x = a/d）相加，即可得到：ax + by = adx/d + bd*y/d = adx + bdy = d(ax0 + by0) = d证毕。所以这就是裴蜀定理的证明过程。这个定理对于解决不定方程式和构造扩展欧几里得算法都有着非常重要的意义。