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微分和积分有什么区别

发布时间：2025-10-12 | 来源：互联网转载和整理

微分和积分的区别包括：定义不同、数学表达不同、几何意义不同。

定义不同

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到的一个函数。对于中的一点x及其在中的邻域中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h，那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分。

积分是把微分后的结果，也就是无数无限小的东西重新***成为一个整体。

定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。但是有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

数学表达不同

微分：导数和微分在书写的形式有些区别，如y' =f (x),则为导数，书写成dy=f (x)dx,则为微分。

积分：设F (x)为函数f (x)的一个原函数，我们把函数f (x)的所有原函数F (x) +C (c为任

意常数)，叫作函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f' (x)=g(x)，则有f g(x) dx=f(x) +c。

几何意义不同

微分的几何意义是将线段无线缩小来近似代替曲线段；

积分是需要几何形体的面积或体积。

微分介绍

早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。

十七世纪以后，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。

微分的性质

如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。

在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：

具体来说对于一个改变量：，微分值：

可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。

可微的充分条件：如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素frac{partial f_i}{partial x_j}(x_0)都在x_0连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

积分介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。

勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的***定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。