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三重积分的计算方法

发布时间:2025-10-10 | 来源:互联网转载和整理

直角坐标计算三重积分

三重积分计算一般先计算一个定积分,再计算一个二重积分,简称“先一后二”的计算方法(也称为投影法、穿针法),积分区域和它的投影区域一定要研究透彻,在此基础上也可以直接转化为三次积分。

在某些特殊情况下,三重积分计算也采用先计算一个二重积分,再计算一个定积分的方法,简称为“先二后一的计算方法(也称为截面法、切片法)。”先二后一的方法一般用于符合以下两个条件的三重积分:

(1)被积函数中不含有字母x,y,即只含常数和字母z(只含常数和字母x或y的计算方法类似);(2)截面区域上的二重积分容易求得,比如积分区域是旋转体。

三重积分的计算应根据积分区域及函数特点选择积分法,在计算过程中尽量利用对称区域上函数的奇偶性化简积分。

柱面坐标计算三重积分

柱面坐标的适用范围:投影区域是圆域或圆域的一部分,被积函数含有x的平方+y的平方或y/x这样的形式,使用柱面坐标相对比较方便。

球面坐标计算三重积分

当被积函数含有x平方+y的平方+z的平方等表达式,或积分区域是由球面、椭球面、锥面等具有对称性的曲面围成时,通常采用球面坐标计算比较简单。

交换积分次序

计算三重积分时经常遇到交换积分次序的问题,而三次积分交换积分次序一般应将相邻的两个积分看作二次积分(将另外的一个变量看作常数),用二次积分交换次序的方法来实现。

三重积分截面法

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