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弹性力学的基本规律

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，在笛卡儿坐标系中，几何方程为：式中xi为坐标系的坐标；ui为与xi相应的位移分量；为应变分量。若所考虑的物体Q在其一部分边界B1上和另一物体Q1相连接，而且Q在B1上的位移为已知量，在B1上便有位移边界条件式中u1是Q的位移。式（2）表示Q和Q1两物体在B1上贴合紧密，没有间隙。反之则表示有间隙，违反了变形后继续保持连续的基本要求。②应力-应变关系弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系，这种联系与如何达到这种应力状态和应变状态的过程无关，即应力和应变之间存在一一对应的关系。若应力和应变呈线性关系，这个关系便叫作广义胡克定律，各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：和式中为应力分量；λ和G为拉梅常数，G又称剪切模量；E为杨氏模量（或弹性模量）；v为泊松比（见材料的力学性能）。λ、G、E和v四个常数之间存在下列联系：式（3a）适用于已知应变求应力的问题，式（3b）的适用于已知应力求应变的问题。③运动（或平衡）规律处于运动（或平衡）状态的物体，其中任一部分都遵守力学中的运动（或平衡）规律，即牛顿运动三定律，反映这个规律的数学方程有两类：运动（或平衡）微分方程和载荷边界条件。在笛卡儿坐标系中，运动（或平衡）微分方程为：式中t为时间；ρ为材料密度；fi为作用在物体上的体力（外载荷的体积密度）分量。方程（5）实质上是从物体中隔离出来的一个微小平行六面体的运动方程。在平衡问题中，惯性力很小，忽略这些惯性力，便得到弹性力学中的平衡微分方程。对于均匀而且各向同性的物体，应力分量可按式（3a）用应变分量表示，而应变分量又可按式（1）用位移分量表示。两个公式依次代入方程（5），便得到用位移表示的运动微分方程：式中θ为体应变，即△为拉普拉斯算符，即类似地，在方程（6）中略去惯性力，便可得到用位移分量表示的平衡微分方程。如果考虑物体一部分边界B2是自由的，在它的上面有给定的外载荷，则根据作用力和反作用力大小相等方向相反的原理，在B2上有如下载荷边界条件：式中i为边界外法线方向的方向余弦；等式右边为给定的边界载荷分量。