实数的运算

发布时间：2025-10-09 | 来源：互联网转载和整理

实数的运算律：

加法交换律：a加b等于b加a。加法结合律：a加b的和加c等于a加b加c的和。乘法交换律：a乘b等于b乘a。乘法结合律：a乘b的积乘c等于a乘b乘c的积。分配律：a乘b加c的和等于a乘b的积加上a乘c的积。

其中a，b，c表示任意实数，运用运算律有时可使运算简便。

1.加法交换律：a+b=b+a,当a,b都是实数时成立，a,b都是向量时还成立

结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+（b+c)当a,b,c都是实数时成立，a,b,c都是向量时还成立

2.与数的乘法有分配率：k(a+b)=ka+kb,其中k是实数

当a,b都是实数时成立，a,b都是向量时还成立

(k+m)a=ka+ma其中k,m是实数，则当a是实数或者向量时都成

3.交换律ab=ba当a,b都是实数时成立，a,b都是向量时且乘法为数量积时还成立

但是对于两个向量的向量积有axb=-bxa

即对于两个向量的向量积交换律已经不成立了

作为前面的公式的推论还有下面的几个公式

（a+b）(c+d)=ac+bc+ad+bd,当a,b,c,d都是实数或者都是向量时都成立

▏x▏²=x²，当x是实数或是向量时都成立（x为向量时，▏x▏为向量的模）

（a+b）²=a²+2ab+b²，当a,b是实数时成立，当a,b都是向量，而其中乘积为数量积时这个公式也成立，但当a,b为向量，向量积可没有这样的公式

想想当a,b都是向量时向量积（a+b）x(a+b)=？

4.实数里有三个实数之间的乘法并有交换律结合律

但是三个向量的数量乘积没有意义，但是可以有两个向量的数量积再与第三个向量的乘积，如向量a,b的数量积是一个数，它与向量c的积（ab）c是数与向量的积，而

a(bc)是b,c的数量积）与向量a的积

显然对于三个向量a,b,c来说(ab)c≠a（bc),(其中括号里为数量积）即不存在结合律

因为实数和向量是完全不同的量，因此很多地方不同

实数有三个数之间的乘法运算，向量也有三个向量之间的乘法，但是情况就很大不同

实数中abc就是一般的三个实数相乘，

但是三个向量a,b,c之间就有数量积，向量积，混合积的不同情况，有关运算律（如交换律，结合律，分配率等）也得区分不同情况（此处略，有兴趣的可以参看任何一套高等数学教材，空间解析几何教材，或矢量分析教材等都可以找到很多向量运算的公式）

实数中还有很多运算定律，如幂的运算定律，对数运算定律等，对于向量来说就不存在了

还有那些运算定律？你自己再分析分析吧，我这里只是开个头