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高数中的函数的极限是什么

发布时间：2025-10-08 | 来源：互联网转载和整理

极限是高等数学的基础,要学清楚.

设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数,a∈R.如果对于任意给定的ε>0,存在正数X,使得对于适合不等式x>X的一切x,所对应的函数值f(x)都满足不等式.　　│f(x)-A│<ε,　　则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限,记作　　f(x)→A(x→+∞).　　例y=1/x,x→+∞时极限为y=0　　函数极限是高等数学最基本的概念之一,导数等概念都是在函数极限的定义上完成的.　　极限符号可记为lim.

函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中.掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益.以x→Xo的极限为例,f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小）,总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x.|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x.时的极限.　　问题的关键在于找到符合定义要求的,在这一过程中会用到一些不等式技巧,例如放缩法等.1999年的研究生考试试题中,更是直接考察了考生对定义的掌握情况.详见附例1.　　函数极限性质的合理运用.常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等.如函数极限的唯一性（若极限存在,则在该点的极限是唯一的）

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定.下面介绍几个常用的判定数列极限的定理.　　1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域,有个符号打不出）时,有g（x)≤f(x)≤h(x)成立　　（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么f(x)极限存在,且等于A　　不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法.　　2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛.　　在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点.一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值.二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数,并且要满足极限是趋于同一方向,从而证明或求得函数的极限值.　　3.柯西准则　　数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时,都有|am-an|<ε成立.